Зависимость цены от безрисковой ставки
С увеличением безрисковой ставки увеличиваются ваши ожидания относительно будущей цены базового актива, следовательно, с увеличением процентной ставки цена опциона колл увеличивается.
3. Влияние на модель фактора дивидендов
Теперь перейдем к вычислению цены европейского опциона колл для акции, по которой выплачиваются дивиденды. После выплаты дивидендов цена акции уменьшается. Мы предполагаем, что она уменьшается ровно на величину выплачиваемых дивидендов. Следовательно, при оценивании опциона на эту акцию необходимо учитывать будущие уменьшения ее цены. В случае европейского опциона колл предполагается, что цена акции состоит из двух компонент – рисковой и безрисковой.
Безрисковая компонента – это дисконтированная величина всех дивидендов, которые будут выплачены по этой акции до момента исполнения опциона. Сделав предположение о будущих дивидендах и отняв их от сегодняшней цены, можно найти рисковую компоненту. Цена опциона на такую акцию вычисляется как цена опциона на рисковую компоненту. В этом случае мы подставляем в формулу Блэка – Шолца вместо S величину рисковой компоненты. Если DVD (discounted value of dividends) – дисконтированное значение всех дивидендов, выплачиваемых по акции в период действия опциона, то рисковая компонента равна S − DVD.
Если рассматривать опционы на индекс, то выплата дивидендов по акциям, входящим в этот индекс, происходит довольно часто. В этом случае с большой степенью точности можно считать, что дивиденты выплачиваются непрерывно.
Пусть нам нужно вычислить цену европейского колл-опциона на акции компании ААА, по которым непрерывно начисляются дивиденды по ставке q, и текущая цена которых S1. Через время Т, т. е. в момент исполнения опциона, средняя ожидаемая цена акции ААА будет не erT (как было бы в случае отсутствия дивидендов), а e(r − q)T.
Рассмотрим дополнительно акции идентичной компании ВВВ, по которым не выплачиваются дивиденды, и текущая цена которых S1 × e−qT. Через время T средняя ожидаемая цена акции ВВВ будет равна S1 × e−qT × erT = S1 × e(r − q)T, т. е. акции в среднем будут стоить одинаково, а поскольку компании идентичны, то отклонение цены их акций от среднего значения также будет одинаковым.
Следовательно, в момент исполнения опциона акции будут иметь одинаковую стоимость, а значит, исполнение опционов на эти акции с одинаковыми страйками должно либо принести одинаковую прибыль, либо не принести прибыли одновременно.
При условии безарбитражности рынка на текущий момент времени европейский опцион с одним и тем же страйком на обе акции стоит одинаково, и его цена может быть вычислена по формуле Блэка – Шолца для акции без дивидендов после подстановки в нее S1 × e−qT вместо S.
Итак, C1 – цена опциона колл на акцию с дивидендами имеет следующий вид:
Величины d1 и d2 находятся из следующих равенств:
4. Цена опциона пут. Формула паритета пут/колл
Пока мы рассматривали только опцион колл. Теперь перейдем к рассмотрению опциона пут. Владелец опциона пут имеет право в определенный момент времени продать актив по заранее оговоренной цене. Как и в случае опциона колл, владелец может не исполнять опцион, если его исполнение для него невыгодно.
При расчете премии, выплачиваемой по опциону пут на акцию без дивидендов, можно использовать формулу паритета пут/Колл (put/call parity). Эта формула описывает зависимость между величинами премии по опционам пут и Колл на один и тот же базовый актив, имеющим одинаковый страйк K и время до исполнения Т.
Для вывода зависимости рассмотрим два портфеля.
Первый состоит из одного опциона колл и K × e−rT долларов, которые мы вкладываем под процент r на время T.
Второй состоит из одного опциона пут и одной акции.
Рассмотрим стоимость портфелей в момент исполнения опционов при разных значениях цены на акцию в тот момент времени S.
Первый портфель:
S(T) > K.
В этом случае после исполнения опциона мы получим прибыль S(T) – K, а вложенные в начале периода K × e – rT долларов вырастут до K долларов. Следовательно, стоимость портфеля равна
S(T) − K + K = S(T),
S(T) < K.
В этом случае исполнение опциона невыгодно. Следовательно, стоимость портфеля равна стоимости денег, т. е. K.
S(T) = K.
В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.
Второй портфель:
S(T) > K.
В этом случае продажа акции по цене K невыгодна, так как текущая цена выше. Стоимость портфеля равна стоимости одной акции, т. е. S.
S(T) < K.
В этом случае мы исполняем опцион и продаем акцию по цене K, которая выше текущего курса. Стоимость портфеля равна K.
S(T) = K.
В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.
Нетрудно заметить, что в момент исполнения опционов оба портфеля имеют одинаковую стоимость при любом значении цены акции. Условие безарбитражности рынка позволяет сделать вывод, что и в данный момент оба портфеля должны стоить одинаково, т. е.
C + K × e−rT = P + S.
Здесь
S – текущая цена акции;
K – цена исполнения опционов;
C – стоимость опциона колл;
P – стоимость опциона пут.
Полученное равенство называется формулой паритета колл/пут.
Исходя из нее, получаем, что цена опциона пут на акцию без дивидендов равна:
P = K × e−rT × N(−d2) − S × N(−d1),
где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию без дивидендов.
Если на акцию начисляются дивиденды по ставке q, то цена опциона пут равна:
P1 = K × e−rT × N(–d2) − S × e – q T × N(−d1),
где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию с непрерывно начисляемыми дивидендами.
Вопросы
1) Рассматривается акция, по которой непрерывно начисляется дивиденд по ставке q = 5 %. Текущая цена акции $50, волатильность 60 %, непрерывно начисляется безрисковая ставка 7 %. Найдите вероятность исполнения трехмесячного европейского опциона колл на эту акцию в случаях, когда цена исполнения составляет $40 и $60.
2) Инвестор приобрел 5 полугодовых европейских опционов колл на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Определите средние затраты инвестора по исполнению опциона колл, если известны следующие данные:
• цена акции в настоящий момент $50;
• цена исполнения опционов $60;
• волатильность акции и безрисковая ставка на следующие полгода равны 70 % и 8 % соответственно.
3) Рассмотрим трехмесячный опцион колл на акции без дивидендов. Текущая цена акции $50, цена страйк $49, безрисковая ставка – 5 %. Сколько стоит трехмесячный опцион пут на эту акцию с таким же значением страйк, если опцион колл стоит $5?
