4.10. – Плотность вероятности выхода из строя электрооборудования
Данная функция является функцией плотности вероятности наступления аварии от момента проведения последнего ППР.
4.2. Экспериментальное нахождение отрицательного значения плотности вероятности.
Положительным событием для данной плотности вероятности является наступление смерти человека от момента рождения данного человека. Отрицательным же значением для данной плотности вероятности является рождение детей у данных людей, относительно от даты рождения данного человека.
Данные наступления смерти от начала жизни:
Данные рождения детей относительно начала жизни :
Воспользовавшись формулой 4.4. Которая представляет собой прямое Пляс преобразование для косинусных составляющих. Для положительного и отрицательного потока событий в сумме.
(4.4)
График данной функции представлен на рисунке 4.11.
Рисунок 4.11. – Косинусные составляющие случайного процесса.
Воспользовавшись формулой 4.5. Которая представляет собой прямое Пляс преобразование для синусных составляющих. Для положительного и отрицательного потока событий в сумме.
(4.5)
График данной функции представлен на рисунке 4.12.
Рисунок 4.12. – Синусные составляющие случайного процесса.
Воспользовавшись формулой 4.4, получим модуль закономерности в зависимости от периода исследуемой гармоники:
Рисунок 4.13. – Модуль закономерности случайного процесса.
Учитывая гармоники от Tn=54 до Tk=82 по формуле 4.6 получим:
(4.6)
График данной функции представлен на рисунке 4.14.
Рисунок 4.14. – Положительная и отрицательная плотность вероятности.
Построим на одном рисунке график данной плотности вероятности (пунктиром) и идеальной волны, подчиняющейся закону косинуса:
Рисунок 4.15 – Плотности вероятности жизни человека и идеальная волна.
Выводы по 4 главе: На основе Пляс интеграла возможно построение функции плотности вероятности. При этом достаточно от десяти моментов наступления аварий, чтобы получить функцию плотности вероятности с точностью 90%. Этот факт является внушительным, так как статистические методы построения плотности вероятности с такой точностью достигают моментов наступления событий около сотни.
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПЛЯС РЯДЫ
Прогнозировать поведение функции в дальнейшем методом Пляс рядов и Пляс интеграла возможно также как и для рядов Фурье и интеграла Фурье только при условиях, что период гармонических составляющих функции в несколько раз меньше максимального периода участвующих в преобразовании. Для того, чтобы прогнозировать поведение функции не удовлетворяющих этому условию предлагаются дифференциальные Пляс ряды. При этом должно соблюдаться условие: Гармоники должны иметь период большей, чем 2*π.
Для объяснения данных рядов рассмотрим следующую функцию, формула 5.1:
(5.1)
График данной функции представлен на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1. – Исходная функция.
Продифференцируем данную функцию до четвертой производной:
(5.2)
График данной функции представлен на рисунке 5.2.
Рисунок 5.2. – График четвертой производной исходной функции.
Построим на одном рисунке четвертую производную исходной функции (сплошную) и идеальную синусоиду с наименьшим периодом исходной гармоники с периодом 20:
Рисунок 5.3. – Производная исходной функции и идеальная синусоида.
Как видно из рисунка 5.3 – мы выделили дифференцированием гармонику с наименьшим периодом 20.
Теперь более подробно.
Рассмотрим функцию, формула которой представлена на рисунке 5.3.
(5.3)
Продифференцируем данную функцию до первой производной и получим:
(5.4)
Как видно из формулы 5.4, мы получили первую производную с гармоническими сигналами подчиняющихся закону синуса, причем отрицательные значения гармоник.
Вторая производная будет иметь вид:
(5.5)
Третья производная будет иметь вид:
(5.6)
Четвертая производная будет иметь вид:
(5.7)
Как видно из формулы 5.3. и 5.7 четвертая производная отличается от исходной функции только амплитудой соответствующих гармонических составляющих. Причем в числителе появляется множитель 16* . А в знаменателе появляется период в четвертой степени. Очевидно, чем больше период, тем гармоническая составляющая данной гармоники с данным периодом будет меньше. И следовательно если у нас производная кратная 4, то мы можем воспользоваться результирующей формулой:
(5.8)
Если гармонических составляющих больше, то очевидна формула:
(5.9)
Мы можем проанализировать гармонические составляющие сигнала используя формулу 5.9. Для этого дифференцируем сигнал с производной кратностью в четыре. До тех пор пока не получим синусоидальный сигнал. Находим искомую гармонику, умножив на соответствующий коэффициент. Вычитаем из исходного сигнала полученный гармонический сигнал с данным найденным периодом. Дифференцируем опять полученный после вычитания сигнал до меньшего дифференциала, чем в первый раз. И получаем другую гармоническую составляющую. Так производим, пока не получим все гармонические сигнала. Для наглядности рассмотрим пример, в котором определяются 3 гармонические составляющие.
Пусть искомый сигнал подчиняется следующей функции:
(5.10)
График данной функции представлен на рисунке 5.4.
Рисунок 5.4. – График исходной функции.
Продифференцируем до 8 производной входной сигнал. Это можно сделать используя свойство производной, а именно производная равна делению приращения функции к приращению аргумента.
Рисунок 5.5. – Восьмая производная исходного сигнала.
Полученный сигнал имеет период 15, также как и минимальный период входного сигнала. Найдем амплитуду полученного сигнала:
