r2 − b2 = ар.
Положим r + b = 2u, r − b = 2v (r и b нечетны). Отсюда получаем 4uv = ар.
Поскольку r = u + v, где r нечетно, получаем, что u и v не могут быть числами одинаковой четности, так что одно из них четно, а другое нечетно. Так как а является степенью двойки, то нечетный сомножитель относится к p. Выявим его, полагая р = s2t, где s нечетно, a t ≥ 1 (p четно).
Напомним, что а = 2k. В этих обозначениях 4uv = ар = s2k+t, uv = s2k+t−2.
Возможные решения для пары u, v имеют вид пар
s'2k+t-2, s''
где s's" = s.
Покажем сначала, что s" — меньший из этих двух элементов пары. Вследствие t ≥ 1 имеем k − t ≤ k + t − 2.
Вследствие p < а последовательно выводим
s2t < 2k,
s's"2t < 2k.
s's" < 2k-t ≤ 2k+t-2 ≤ s'22k+t-2
(потому что s' нечетен и не меньше 1).
Следовательно, нужно взять u = s'2k+t-2, v = s".
Покажем теперь, что нужно обязательно взять s' =1, s" = s. По выбору u и v
b = 2k+t−2s' − s" < а = 2k.
Отсюда получаем:
s" > 2k+t−2s' − 2k,
и, так как t ≥ 1:
s" > 2k−1s' − 2k,
s = s's" > 2k−1s'2 − 2ks = 2k−1s' (s' − 2).
Вследствие р = s2t < а = 2k выводим s < 2k−t ≤ 2k−1.
Объединим два полученных неравенства:
2k−1s' (s' − 2) < x < 2k−1, поэтому s' (s' − 2) < 1.
Единственное нечетное число s', удовлетворяющее этому соотношению, это s' = 1. Следовательно, у нас остается единственная возможность:
u = 2k+t-2, v = s,
b = u − v = 2k+t-2 − s < а = 2k,
s > 2k+t-2 − 2k.
Так как s < 2k−t, то t должно быть таким, чтобы
2k−t > 2k+t-2 − 2k.
Поскольку t должно быть строго положительно, то его единственными возможными значениями являются t = 1 и t = 2.
При t = 1 имеем
p = 2s, b = 2k−t − s = a/2 − p/2.
Следовательно, если 2b = а − p, то n — квадрат числа (а + p)/2 = а − b.
При t = 2 имеем
p = 4s, b = 2k − s = a − p/4.
Следовательно, если p = 4(a − b), то n — квадрат числа a + p/4 = 2а − b.
Этим исчерпываются случаи, когда n может быть полным квадратом.
Можно спросить себя, могут ли эти различные случаи действительно осуществляться. Заметим, что при вступлении в цикл у нас b = 1, a = 4. После этого b может быть изменено добавлением а, т. е. кратным числа 4. Следовательно, b остается сравнимым с 1 по модулю 4. В трех возможных случаях:
p = 0, r = b,
p = а − 2b, r = a − b,
p = 4 (a − b), r = 2a − b,
первый случай — единственный, в котором квадратный корень из n сравним с 1 по модулю 4; два других дают квадратный корень, сравнимый с 3 по модулю 4. При выходе из цикла равенство
b = ар + b2
с учетом соотношений p < a, b < a дает n < 2a2 и, следовательно, при выходе из цикла a2 > n/2. Равенство
ар = n − b2
дает p = (n − b2)/a < n/а.
Если окажется, что n/а < a, то непременно p < а и цикл закончен. Чтобы цикл остановился, необходимо, чтобы a2 > n/2, и цикл заведомо останавливается, если a3 > n.
Следовательно, все зависит от положения n по отношению к степеням двойки. Существует такое целое n, что
4q < n < 4q+1.
Возможны два случая. Во-первых, может выполняться неравенство
4q = 22q < n < 22q+1,
и тогда для k = q число a2 = 22q > n/2 может быть значением остановки, но в этом нет уверенности. С другой стороны, если
22q+1 < n < 22q+2,
то единственное значение a, удовлетворяющее условию a2 > n/2, есть a = 2q+1, и для этого значения имеем a2 > n, что гарантирует остановку. Поскольку r = a − b, то а = r + b > r и, следовательно, a2 > n.
Во втором случае
r = 2a − b и b < а, откуда а < 2a − b = r.
Таким образом, все три распознаваемые программой случая являются единственными возможными исходами программы, и каждый из них может произойти.
Таким образом, перед нами — очень забавный алгоритм, который дает значение квадратного корня, и который определяет случай, когда n не является корнем, но в этом случае не дает никакой дополнительной информации.
Программа заведомо останавливается при а = 2q+1, так что число шагов цикла не больше q − 1 (начиная с 4), причем q — логарифм квадратного корня из n по основанию 2. Таким образом, получилась программа порядка In n, что дает ту же сложность, что и обычный алгоритм, действующий кусками по две цифры. Но для этого последнего алгоритма нужен еще первый цикл, чтобы найти порядок величины n.
Головоломка 19.
Соотношение f(a, b) = f(b, a) следует из самой инициализации p и q:
p := max (a, b); q := min (a, b).
Эти две функции симметричны по a и b, и поэтому точно так же симметрична f. При анализе программы мы ограничены действиями, происходящими внутри цикла. Величины r и s являются вспомогательными переменными, которые не оставляют никакой проблемы. Трудность вызывают преобразования, проделываемые над p и q. Чтобы ясно увидеть эту трудность, осуществим введение новых переменных без разрушения старых. Перепишем наш цикл:
ПОКА q ≥ eps ВЫПОЛНЯТЬ
r := (q/p)2; s := r/(r + 4)
p' := (2 * s + 1) * p; q' := s * q
p := p'; q := q'
ВЕРНУТЬСЯ
Рассмотрим действия этой программы, производимые над данными a, b с одной стороны и над ac, bc с другой.
