— Можно подумать, есть числа меньше нуля!
— Конечно, есть, — возразил Заведующий, и нетрудно догадаться, что их называют ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ.
Постойте, постойте! Это я уже слышал: про положительные и отрицательные числа и ещё про то, что нуль, как верный страж, стоит между ними, говорил Президент острова Нуль. Но я тогда не понял, что это за числа, которые меньше нуля. И неужели без них нельзя обойтись? Оказалось, никак нельзя!
— Без отрицательных чисел математики как без рук, — сказал Заведующий. — Попробуй положить на стол 3 яблока и отнять от них 5. Ничего не выйдет! С яблоками не выйдет, а с числами сколько угодно: 3–5 = -2. Получилось отрицательное число: минус два!
Вот так фокус! Мы страшно удивились, но ещё больше удивился Заведующий.
— Вы что, никогда не видели термометра? — спросил он. — Представьте себе, что он показывает 3 градуса тепла (+3), а потом температура вдруг понизится на 5 градусов. Что вы тогда увидите на термометре?
— Два градуса мороза, — сказал Пи.
— Правильно, два градуса ниже нуля, то есть минус 2 градуса. Вот вы и вычли из трёх пять и получили минус два!
— Теперь понятно, — сказал Пи.
— А вот ещё один признак нашего числа, — продолжал Заведующий, — оно ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ.
Ха! Выходит, есть и недействительные? Ну и чудак! Может, он… того? Но чудак посмотрел на нас вполне нормальными глазами и сказал, что смеяться нечего, потому что такие числа есть. Их называют МНИМЫМИ. Только он, к сожалению, не может сейчас объяснить, что это за числа. Да они нам пока и не понадобятся, потому что номера телефонов мнимыми не бывают.
Но это было не всё. У нашего числа выискался ещё один важный признак: оно РАЦИОНАЛЬНОЕ. Это значит, что его можно совершенно точно записать или отложить на линейке. И тут мы с коком сразу смекнули, что есть, стало быть, числа, которые точно записать нельзя. И не ошиблись: такие числа в самом деле есть, и называются они ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ. Их можно записать только приближённо. Вот, например, число «пи»: оно приближённо равно трём целым и четырнадцати сотым.
Это-то мы знали. Но вот новость: выходит, мой друг Пи — иррациональное число! Век живи — век учись!
Итак, что же мы узнали о числе 284 130? Мы узнали, что оно шестизначное, целое, положительное, действительное, рациональное.
— Добавьте ещё, что оно ЧЁТНОЕ, — сказал Заведующий. — Видите, как много у него признаков. И всё-таки их недостаточно. Чтобы найти забытое число, нужно знать не только простейшие, но и особые его признаки — ну хотя бы сумму его цифр. Для нашего числа она равна 18 (2 + 8 + 4 + 1 + 3 + 0 = 18). Обратите также внимание на то, что число 284 130 — СОСТАВНОЕ: его можно разложить на множители.
И тут я опять подумал, что если есть числа, которые разложить на множители можно, значит, есть числа, которые разложить на множители нельзя. И снова попал в самую точку. Почти. Потому что такие числа есть (их называют ПРОСТЫМИ), но они всё-таки делятся на единицу и на самих себя. А больше ни на что. Вот, например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Конечно, это только первые простые числа, всего-то их бесконечное множество. Самое большое из найденных простых чисел записывается более чем тысячью тремястами знаков. С ума сойти! А какое следующее — неизвестно. Пока еще не вычислили. Впрочем…
Тут Заведующий посмотрел на нас, засмеялся и сказал, что нам в самый раз пойти отдохнуть. Тем более, что рабочий день его кончился. Мы поблагодарили его и пошли на Фрегат.
26 нуляля
Сегодня утром капитан сказал, что и этот день Фрегат простоит в бухте Чисел.
Мы с коком тотчас отправились на берег и сами не заметили, как снова очутились у стола находок. Заведующий, казалось, ничуть не удивился нашему приходу и тут же вынул карточку со знакомым нам уже числом 284 130.
— Вчера вы сказали, что это число составное, — вспомнил Пи. — Как это надо понимать?
— Потому что сразу видно, что это число ОБЯЗАТЕЛЬНО разделится и на 2, и на 3, и на 5, и на 6, и на 9, и на 10, и на 11!
Мы так и ахнули! Как он догадался?
А он вовсе и не догадывался, а знал признаки делимости на эти числа. Оказалось, что число 284 130 делится на 2 потому, что оно чётное. Чтобы узнать, делится ли число на 3 и на 9, надо узнать сумму его цифр. Если эта сумма делится на 3 и на 9, значит, на 3 и на 9 делится и само число. Сумма цифр нашего числа равна 18. А 18 делится и на 3, и на 9. Значит, на них же делится и наше число.
— Пойдём дальше, — продолжал Заведующий. — Раз наше число делится на 2 и на 3, оно, конечно, делится и на 6. Ведь 6 = 2*3. А на 5 и на 10 оно делится потому, что оканчивается нулём. Как видите, ничего сложного здесь нет.
— Вы забыли про число 11, - напомнил Пи. — Какой признак делимости на него?
— Про 11 я действительно забыл, — смущённо улыбнулся Заведующий. Этот признак несложен. Чтобы узнать, делится ли число 284 130 на 11, я сложил его цифры через одну, — сперва те, что стоят на нечётных местах: 2 + 4 + 3 = 9, а затем те, что на чётных: 8 + 1 + 0 = 9. Как видите, обе суммы одинаковы, а это верный признак делимости на 11. А теперь, — Заведующий торжественно поднял палец, — я расскажу вам ещё о двух замечательных особенностях нашего числа. Обратите внимание на первые две его цифры: они образуют двухзначное число 28, а первые три цифры — трёхзначное число 284.
Каждое из этих чисел замечательно по-своему. Начнём с числа 28. Какие у него младшие делители? Это 1, 2, 4, 7 и 14. Сложите их.
Мы сложили, и что бы вы думали? Оказалось, сумма младших делителей числа 28 равна самому числу! 1+2+4+7+14 = 28.
Заведующий сказал, что такие числа называются СОВЕРШЕННЫМИ и что сейчас известно восемь совершенных чисел. Например, число 6. Оно тоже совершенное: сумма его младших делителей равна 6: 1 + 2 + 3 = 6.
Чудеса! А что происходит с числом 284?
— Тут чудеса другие, — сказал Заведующий. — Его младшие делители 1, 2, 4, 71, 142. Если мы их сложим, то получим в сумме…
— Число 220, - сосчитал я. — И никаких чудес!
Заведующий усмехнулся.
— А чудеса всё-таки есть. Сложим теперь сумму младших делителей числа 220. Это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110. Что у нас получится? Он победоносно откинулся на спинку стула, — У нас получится 284!
— Ну и что?
— Как — что? Да то, что между числами 220 и 284 существуют интересные взаимоотношения. Можно сказать, дружеские. Они обменялись суммой своих младших делителей. Потому-то их и называют ДРУЖЕСТВЕННЫМИ…
Интересно, сколько других признаков числа 284 130 мы узнали бы сегодня, если бы Заведующий не догадался, что и этих нам на первый раз вполне достаточно?
27 нуляля
Сегодня Единица разрешил мне побыть с ним на капитанском мостике. Я, конечно, первым делом присоседился к подзорной трубе. День выдался ясный. Море было спокойное, добродушное, совсем как наш капитан, когда он в хорошем настроении. И вдруг…
— Лево по борту вижу незнакомый предмет! — закричал я. Капитан посмотрел в указанном направлении и тотчас приказал спустить шлюпку. Очень скоро «незнакомый предмет» очутился у меня в руках. Это была крепко-накрепко закупоренная бутылка. Сквозь зелёное стекло виднелась какая-то бумажка. Мы с трудом выковыряли её оттуда. На ней было написано вот что: «15° 30΄ 14˝ зап. долг. 3° 10΄ 05˝ сев. шир. Рыбаки».
Брови у капитана съехались к переносице.
— Дело серьёзное! Идём на выручку.
И он тут же приказал изменить курс.
Я спросил, как он догадался, куда надо спешить.
— Но тут же всё написано, — сказал капитан, — точные координаты!
Я снова заглянул в бумажку и снова ничего не понял. Правда, слово «координаты» я слышал не в первый раз, но не удосужился узнать, что оно означает. Теперь было самое время наверстать упущенное.
Пока Фрегат шёл себе по указанному адресу, я узнал вот что. Координатами называются два числа, по которым можно найти положение точки или любого предмета на поверхности. Но поверхности бывают разные. Поверхность стола — плоская. Поверхность Земли — круглая, или, как говорят учёные, сферическая.
Для разных поверхностей пользуются разными координатами.
Чтобы определить положение точки на плоскости, применяют координаты прямолинейные. Если же нужно найти точку на поверхности шара, лучше выбрать координаты сферические.
Я спросил: как же всё-таки с помощью двух чисел можно найти точку на плоскости?
Капитан вынул из кармана орешек и положил его на стол.
— Давай определим координаты орешка. Для этого выберем сперва оси координат, то есть две прямые, от которых мы будем отсчитывать расстояние до орешка. Проще всего принять за оси координат два взаимно-перпендикулярных края стола. Обозначим одну ось латинской буквой х (икс), другую — буквой у (игрек). Точку, где оси х и у сходятся, назовём началом координат и обозначим её буквой О. Теперь проведём от орешка перпендикуляры на оси х и у. Измерим расстояния от начала координат до оснований этих перпендикуляров, то есть до тех точек, где перпендикуляры пересекаются с осями.
