– А может быть, он в цирке делает двойное сальто? – сказала крошка Двойка.
– Бедный мой сыночек! Где ты сейчас? – не унималась мама-Восьмёрка.
– Успокойтесь, – сказала Четвёрка, – найдётся ваш Нулик. Утро вечера мудренее. Если он не появится сегодня, завтра перевернём всё Арифметическое государство и найдём его обязательно.
В это время объявили о прибытии самолёта с малышами. Четвёрка озабоченно пересчитала своих питомцев и облегчённо вздохнула. Они оказались целы и невредимы.
Все вместе мы возвращались обратно. По дороге малыши наперебой рассказывали о своих приключениях.
Мы дошли до Числовой площади, где пожелали друг другу спокойной ночи и расстались.
Так закончился наш первый день в Карликании.
Проснувшись утром, мы обнаружили, что Сева исчез. Так как все знали его непоседливый характер, никто не стал особенно беспокоиться.
Мы были правы. Через некоторое время он прибежал огорчённый: Нулик так и не нашёлся!
Сева нарочно встал пораньше, чтобы разузнать в городе о пропавшем малыше.
– Давайте сразу же после завтрака отправимся на поиски, – предложила Таня.
– Верно! – обрадовался Сева. – Я слышал, в Карликании есть какое-то местечко. Называется Рим.
– Почему – местечко? Рим – это город, он в Италии, – сказала Таня.
– В Италии один Рим, а в Карликании другой! – отрезал Сева.
– Рим – древнее государство, – сказал Олег. – Его уже давно не существует, а вот остатки Рима, наверное, сохранились здесь.
Я слушал, не вмешиваясь в разговор. Сева спросил меня:
– Не попал ли Нулик в Рим?
– Он не мог туда попасть, – ответил я, – ему там совершенно нечего делать.
– Почему вы знаете?! – кипятился Сева. – Искать – так всюду.
– Ну что ж, я не прочь, – согласился я. – Кстати, познакомимся с обитателями этого «местечка».
Мы пересекли Числовую площадь, прошли кусочек Автоматической улицы и свернули налево.
Перед нами была бесконечная аллея. У входа в неё сидел старый-престарый карликан и смотрел в телескоп.
– Не видно, опять не видно… – бормотал он себе под нос.
– Чего не видно? – заинтересовался Сева. – Дайте мне взглянуть. Может быть, я увижу.
– Ну как же вы можете увидеть то, чего не видно? Не видно конца! Ещё только вчера я заметил в самом конце аллеи огромнейшее число и подумал: «Ну вот, теперь всё. Дальше ничего не может быть». А сегодня взглянул: за тем числом ещё число, да больше вчерашнего!
– А что это за число? – спросила Таня.
– Так вам сразу и объясняй! Какие прыткие! Лучше пройдитесь по этой аллее и глядите во все глаза. Может быть, тогда и поймёте. Может быть!… – И старый ворчун уткнулся в свой телескоп.
Мы пошли по левой стороне аллеи и вдруг услышали команду:
– По порядку номеров ра-а-а-ассчитайсь!
– Это что же, утренняя перекличка? – спросил Сева.
Стоящие по левую сторону числа стали выкрикивать:
– Два, три, пять, семь, одиннадцать, тринадцать…
Голоса становились всё глуше, уходя вдаль.
– Это уже не порядок, а беспорядок номеров, – заметила Таня.
Однако числа называли себя точно в той последовательности, в какой они стояли:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и так далее.
– Что за сумасшедшие числа? – недоумевал Сева.
– Сами вы сумасшедшие! – возмутился старый карликан. – Да ещё и невежды. Неужели вы не прочитали надписи при входе?
– Нет, – растерялся Сева.
– Ведь это же аллея Простых Чисел! Поняли?
– А что такое простые числа?
– Посмотрите направо, – сказал карликан, – может быть, это прояснит вам мозги.
По правую сторону аллеи стояли совсем другие числа: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27 и так далее.
– Это как раз те числа, – сказала Таня, – которых недостаёт на левой стороне аллеи.
– А им туда нельзя! – захихикал карликан. – Это же составные числа, а не простые.
– Зачем же их здесь держат?
– У меня, кажется, начинает болеть печень от ваших нелепых вопросов! Разве вы не видите, что над вами? Нельзя смотреть только под ноги, иногда не мешает и наверх поглядеть.
Мы подняли головы.
– Волейбольная сетка! – ахнул Сева.
В самом деле, над всей аллеей была натянута гигантская сетка.
– Опять вы сказали чепуху! – рассердился карликан. – При чём здесь волейбол? Это вам не игрушки! И там вовсе не сетка, молодой человек, а решето!
– Решето?! Что же через него просеивают?
– Числа! Числа просеивают!! – закричал карликан, потеряв всякое терпение. – Посмотрите, как их основательно перетряхивают! Всякие отходы, вроде составных чисел, проваливаются сквозь решето, и их отводят на правую сторону аллеи. А в решете остаются в самом чистом виде наши драгоценные, наши ненаглядные простые числа. Их бережно, по порядку расставляют по левую сторону аллеи. Посмотрите, не правда ли, они очаровательны? – растрогался он вдруг.
Ребята из вежливости покивали головами, хотя никто из них никакого очарования в простых числах не находил.
К счастью, в это время нас догнала верная Четвёрка с бантиком. Все шумно обрадовались.
– Какой злой старикан! – пожаловался Сева. – Только и делает, что ворчит…
– Что вы! – рассмеялась Четвёрка. – Самый добрый карликан во всём государстве! Просто он не любит это показывать. Но не стоит отвлекать старика от работы. Я сама вам всё расскажу.
Мы с удовольствием уселись на скамью. И Четвёрка с бантиком начала свой рассказ:
– Давным-давно люди заметили, что есть такие числа, которые никого, кроме самих себя, не признают. Ни на какое другое число, кроме себя, они не делятся. И делают исключение только для единицы. И то только потому, что это деление на них никак не отражается: после деления на единицу они остаются такими же, какими были прежде. Вот эти-то числа люди и назвали простыми, хотя не так. Просто найти их среди других. Более двух тысяч лет назад в Греции знаменитый математик Эратосфен придумал очень остроумный способ выискивать простые числа. Он предложил для этого применять особое решето, сквозь которое все ненужные числа будут просеиваться, а все нужные – простые – оставаться.
– Совсем как промывают золото, – сказал Олег. – Песок уходит, а золото остаётся.
– Прекрасное сравнение! – воскликнула Четвёрка. – Простые числа – это действительно наше золото. Итак, – продолжала она, – чудесное решето назвали решетом Эратосфена. Теперь посмотрим, как оно действует. Давайте запишем все числа, начиная с двойки, до…Впрочем, «до» я сказала не подумав. Ведь числам нет конца. Итак, расставим числа, начиная с двойки, по порядку:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 и так далее.
Такой ряд чисел называется натуральным рядом. Выбросим из этого ряда те числа, которые наверняка не являются простыми, то есть делятся не только на себя, но и на другие числа. Сперва отсеем числа, которые делятся на два. Какие это числа?
– Я знаю, – сказала Таня. – Все чётные числа делятся на два.
– Верно. Отсеем все чётные числа, кроме двойки, и тогда останется вот что:
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41 и так далее.
Теперь отсеем все числа, которые делятся на три.
Это 6, 9, 12, 15, 18, 21… Но все чётные – 6, 12, 18… – мы уже раньше отбросили. Что же теперь останется в ряду? Вот что:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53…
Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.
А дальше выбросим все числа, которые делятся на пять, потом те, что делятся на семь… Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа и оставаться простые, то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу.
Теперь мы уже знаем очень много простых чисел.
Вот первые из них:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…
Эти-то числа, как видите, и стоят на левой стороне аллеи.
– Очень просто! – заявил Сева. – Я дома тоже устрою такую аллею и выпишу все-все простые числа…
– Не торопитесь, – перебила его Четвёрка. – Это не так легко: выписать все простые числа. Ведь чем больше число, тем сложнее определить – простое оно или составное. Если бы мы знали, в каком порядке они следуют друг за другом, это было бы замечательно! К сожалению, никто ещё до сих пор этот порядок установить не сумел. То простые числа стоят совсем рядом, их тогда называют близнецами, то между двумя ближайшими простыми числами образуется огромное расстояние, и оно сплошь заполнено составными числами. Люди очень далеко прошли по этой аллее, они знают множество простых чисел, и всё-таки не все!
– А может быть, дальше и нет ни одного простого числа? – усомнился Сева.
– Нет! Не может быть! – ответила Четвёрка. – Уже давным-давно один великий учёный, тоже грек, Эвклид, предшественник Эратосфена, доказал, что конца простым числам нет. Вот почему так озабочен наш добрый карликан! У него очень много дела. Только вчера в конце аллеи он увидел огромное простое число, а сегодня за этим числом стоит ещё большее: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. А завтра, может, появится новое, если люди его вычислят. И так без конца. Есть отчего потерять голову. И говорить об этом тоже можно без конца… Давайте-ка лучше займёмся поисками бедного Нулика, – закончила свой рассказ Четвёрка.
