Если бы число обитателей этой Вселенной было конечно, то регистратору не удалось бы осуществить свой грандиозный замысел, так как клубов было бы больше, чем обитателей Вселенной: например, если бы во всей Вселенной было бы только 5 обитателей, то числа клубов достигало бы 32 (один клуб был бы пустым множеством). Если бы во всей Вселенной было бы 6 обитателей, то число клубов достигало бы 64, а во Вселенной с n обитателями число клубов составляло бы 2?n.
Но в той Вселенной, о которой мы сейчас говорим, число обитателей было бесконечно, поэтому регистратор надеялся на благоприятный исход своей затеи. На протяжении миллиардов лет он день за днем упорно пытался осуществить свой замысел, но любая попытка неизменно оканчивалась неудачей.
Чем это объясняется: недостаточно удачным выбором схемы или принципиальной неосуществимостью затеи?
Решение. Неудачи связаны с принципиальной неосуществимостью намерений регистратора. Этот замечательный математический факт был открыт математиком Георгом Кантором. Предположим, что регистратору удалось присвоить всем клубам имена обитателей Вселенной с соблюдением всех правил (никакие два клуба не названы именем одного и того же обитателя Вселенной, и у каждого обитателя есть клуб, названный его именем). Назовем обитателя Вселенной неноминабельным, если он не состоит членом клуба, названного в его честь. Все неноминабильные обитатели Вселенной образуют хорошо определенное множество, а мы знаем, что члены каждого множества обитателей Вселенной состоят в своем особом клубе. Следовательно, должен существовать клуб неноминабельных обитателей Вселенной, что невозможно по причинам, изложенным в задаче 260 (этот клуб должен быть назван в честь одного из обитателей Вселенной, который не может быть ни номинабельным, ни неноминабельным, так как и то и другое приводит к противоречию).
263. Задача об учтенных множествах.
Перед вами та же задача в новом одеянии. Некоторые из вводимых здесь понятий понадобятся нам в следующей главе.
У одного математика хранится "Книга множеств". На каждой ее странице дается описание какого-нибудь множества чисел (под множеством чисел мы понимаем подмножество множества целых положительных чисел 1,2,3,...,n,...). Любое множество, описанное на какой-нибудь странице книги, называется учтенным множеством. Страницы книги перенумерованы по порядку целыми положительными числами.
Назовите множество, описания которого нет ни на одной странице "Книги множеств".
Решение. Пусть n - любое целое положительное число.
Назовем n экстраординарным числом, если n принадлежит множеству, описанному на n-й странице, и ординарным, если не принадлежит множеству, описанному на n-й странице.
Множество ординарных чисел не может быть описано ни на одной странице "Книги множеств". Действительно, если бы оно было перечислено на k-й странице, то число k не могло бы быть ни экстраординарным, ни ординарным, так как и в том и в другом случае мы пришли бы к противоречию.
Задачи этого раздела представляют собой адаптированные варианты знаменитого принципа, открытого Куртом Гёделем, работу которого по математической логике мы рассмотрим в конце главы.
264. Остров G.
Население острова G составляют лишь рыцари, всегда говорящие только правду, и лжецы, которые всегда лгут.
Кроме того, некоторых рыцарей называют "признанными рыцарями" (они проявили себя чем-то, подтвердив свое рыцарское звание), а некоторых лжецов (подтвердивших свою приверженность ко лжи) - "отъявленными лжецами".
Обитатели острова G состоят членами различных клубов.
Каждый островитянин может быть членом нескольких клубов.
Любой островитянин X утверждает относительно любого клуба C, что он либо состоит членом клуба C, либо не состоит членом клуба C.
Известно, что выполняются следующие четыре условия:
E1: Все признанные рыцари состоят членами одного клуба.
E2: Все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба.
C (условие дополнительности; C - от лат. complementum дополнение). Все островитяне, не состоящие членами любого клуба C, состоят в одном клубе. (Этот клуб называется дополнением клуба C и обозначается 1C.)
G (условие гёделевости). Для любого клуба C существует по крайней мере один островитянин, который утверждает, что состоит членом клуба C. (Разумеется, его утверждение о членстве в клубе C может быть ложным, так как островитянин может оказаться лжецом.)
264а (по Гёделю).
1) Докажите, что на острове G существует по крайней мере один непризнанный рыцарь.
2) Докажите, что на острове существует по крайней мере один неотъявленный лжец.
264б (по Тарскому).
1) Состоят ли все лжецы острова членами одного клуба?
2) Состоят ли все рыцари острова членами одного клуба?
Решение задачи 264а. По условию E1 все признанные рыцари острова (образующие множество E) состоят членами одного клуба. Следовательно, по условию C все островитяне, входящие в множество 2E непризнанных рыцарей, также состоят членами одного клуба. Но тогда по условию G существует по крайней мере один островитянин, который утверждает, что состоит членом клуба 3E (иначе говоря, он утверждает, что не принадлежит к множеству непризнанных рыцарей).
Лжец не мог бы утверждать, что он не признанный рыцарь (поскольку утверждение о том, что лжец - не признанный рыцарь, истинно). Следовательно, островитянин, высказавший это утверждение, должен быть рыцарем. Поскольку он рыцарь, то высказываемые им утверждения истинны, поэтому он не признанный рыцарь. Значит, островитянин, высказавший это утверждение - рыцарь, но не признанный рыцарь.
По условию E2 все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба. Следовательно (по условию G), существует по крайней мере один островитянин, утверждающий, что он отъявленный лжец (он утверждает, что состоит членом клуба отъявленных лжецов). Этот островитянин не может быть рыцарем (так как рыцарь не мог бы утверждать, что он лжец). Значит, он лжец.
Следовательно, его утверждение ложно, поэтому он не отъявленный лжец. Значит, он лжец, но не отъявленный лжец.
Решение задачи 264б. Если бы все лжецы состояли членами одного клуба, то по крайней мере один островитянин утверждал бы, что он лжец. Но ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать такое утверждение. Следовательно, все лжецы не состоят в одном клубе. Если бы все рыцари состояли членами одного клуба, то (по условию C) все лжецы также состояли бы членами одного клуба, что, как мы доказали, невозможно.
Следовательно, все рыцари также не состоят членами одного клуба.
[Примечания. 1. Задача 264б дает еще одно решение задачи 264а. Хотя оно и неконструктивно, но тем не менее несколько проще предыдущего.
Если бы каждый рыцарь был признанным, то множество всех рыцарей совпадало бы с множеством признанных рыцарей, что невозможно, так как (по условию E1) все признанные рыцари состоят в одном клубе, а все рыцари (как показано в решении задачи 2646) не состоят в одном клубе. Таким образом, предположение о том, что все рыцари признанные, приводит к противоречию.
Следовательно, должен существовать по крайней мере один непризнанный рыцарь. Аналогично если бы. все лжецы были отъявленными, то множество отъявленных лжецов совпадало бы с множеством всех лжецов, что невозможно, так как все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба, в то время как все лжецы не состоят членами одного клуба.
В отличие от только что приведенного доказательства наше первое доказательство позволяет установить дополнительные подробности: всякий; кто утверждает, что он непризнанный рыцарь, должен быть непризнанным рыцарем, а всякий, кто утверждает, что он отъявленный лжец, должен быть неотъявленным лжецом.
2. Доказывая, что все лжецы не состоят членами одного клуба, мы использовали только условие G. Условия E1, E2 и C нам не понадобились. Значит, из одного лишь условия G следует, что все лжецы не состоят членами одного клуба. Более того, условие G эквивалентно утверждению, что все лжецы не состоят членами одного клуба. Действительно, будем считать известным, что все лжецы не состоят членами одного клуба. Тогда условие G можно вывести следующим образом.
Выберем любой клуб C. Так как все лжецы не состоят членами одного клуба, то C не множество всех лжецов.
Следовательно, либо членом клуба C состоит какой-нибудь рыцарь, либо какой-нибудь лжец не состоит членом клуба C. Если какой-нибудь рыцарь состоит членом клуба C, то он заведомо утверждает, что состоит членом этого клуба (так как он всегда говорит только правду). Если бы какой-нибудь лжец не состоял членом клуба C, то он утверждал бы, что состоит членом этого клуба (так как он лжет). Следовательно, и в том и в другом случае кто-нибудь утверждает, что состоит членом клуба C.]
