Но, вскрыв природу этих гипотетических построений, Пуанкаре неоправданно относит их целиком к метафизическому методу. Не учитывает он подвижности границы, отделяющей вопросы, доступные научным методам познания, от гипотетических посылок о скрытых свойствах вещей. С развитием экспериментальной техники и теоретических подходов вчерашние гипотезы о "вещах в себе" воплощаются в конкретные соотношения между величинами, доступные опытной проверке. И тогда эти умозрительные понятия либо превращаются в строго научные, как это было с понятиями атома и электромагнитного поля, либо же оказываются отброшенными логикой научных фактов, как это было с теплородом и эфиром.
Весьма поразил современников, да и не только современников, его подход к вопросу о том, какая из геометрий соответствует нашему миру. Именно здесь особенно ярко и неожиданно проявился научный конвенционализм Пуанкаре. Казалось бы, ответ на этот вопрос должны дать опыты с физическими объектами, служащими реализацией геометрических понятий в пространстве. Однако все оказалось гораздо сложнее и серьезнее, чем это предполагали. Именно Пуанкаре вскрыл истинную сущность данной проблемы. По его утверждениям, геометрия реального пространства в принципе не допускает экспериментальной проверки. Аргументирует он это тем, что ни в одном опыте нельзя проверить чистую геометрию как таковую. Проверке подлежит только совокупность "геометрия плюс физика" в целом. Допустим, наблюдения показали, что распространяющийся в пространстве луч света искривляется. Объяснить этот факт можно различным образом: либо предполагая пространство неевклидовым, либо предполагая, что в евклидовом пространстве какая-то сила искривляет световой луч. Один и тот же экспериментальный результат совмещается с совершенно различными геометриями, можно выбирать любую из них. Но физические законы для этих двух геометрических картин будут различными. Ценой изменения, подгонки физики можно подобрать любую геометрию пространства для одного и того же наблюдаемого факта. Геометрия и физика дополняют друг друга — таков основной вывод Пуанкаре. Поэтому он приходит к заключению, что "никакая геометрия не может быть более истинна, чем другая; она может быть лишь более удобной". Вопрос о выборе геометрического описания реального мира свелся для Пуанкаре исключительно к соглашению. Но поскольку евклидова геометрия обладает наибольшей простотой и удобством, то физики, по его мнению, всегда будут сохранять свою приверженность к ней. "Геометрия есть некоторое условное соглашение, — пишет он, — своего рода компромисс между нашей любовью к простоте и нашим желанием не слишком далеко удаляться от того, что нам сообщают наши инструменты".
Критерий «удобства», неоднократно использованный Пуанкаре для выбора предпочтительной геометрии, стал причиной многих недоразумений. Пуанкаре не объяснил смысл, вкладываемый им в этот явно неудачный термин. В своих последующих выступлениях он лишь возражал против субъективистской его трактовки. Однако в 1887 году в работе "Об основных гипотезах геометрии", впервые поставив вопрос о выборе геометрии для описания физических явлений, Пуанкаре поясняет: "Мы выбрали между всеми возможными группами одну особенную для того, чтобы к ней относить физические явления, подобно тому как мы выбираем систему трех координатных осей, чтобы к ним относить физические фигуры. Что же определило наш выбор? Это, во-первых, простота выбранной группы; но есть и другое основание: в природе существуют замечательные тела, называемые твердыми, и опыт говорит нам, что связь различных возможных перемещений этих тел выражается со значительной степенью приближения теми же самыми соотношениями, как и различные операции выбранной группы". Пуанкаре прямо указывает, что выбор геометрии и группы движений определяется соответствием их движению реальных тел. Он ошибался лишь в том, что заранее предрекал выбор геометрии Евклида. В то же время Пуанкаре утверждал, что можно в принципе использовать любую другую внутренне непротиворечивую геометрию.
Эти общие соображения остались не подкрепленными конкретными физическими описаниями явлений на основе различных геометрий. Поэтому в течение целых десятилетий ученые, не принимая геометрический конвенционализм Пуанкаре, пытались его как-то преодолеть. Некоторые из них, поддавшись силе авторитета А. Эйнштейна, впоследствии тоже выступившего против конвенциональности геометрии, считали, что ему удалось опровергнуть доводы французского теоретика. И лишь сравнительно недавно, в шестидесятые годы, ряд советских и зарубежных физиков строго доказали возможность описания одних и тех же явлений с применением различных геометрий пространства и времени. Ныне это уже не вызывает сомнений.
То обстоятельство, что наблюдаемые физиками факты укладываются в рамки различных геометрий, вовсе не снимает вопроса об истинной геометрической структуре пространства — времени. Разные геометрические представления одних и тех же физических явлений еще не свидетельствуют о произвольности и условности законов физики или пространственно-временных свойств реального мира, как не свидетельствует об этом выбор различных единиц измерения физических величин или применение различных систем координат. Истинная геометрия реального пространства — времени только одна, и выделена она не удобством использования, а тем, что, наиболее полно отражая с ее помощью физические явления, ученые в то же время обходятся без вынужденного усложнения физической теории. Используя другие, отличные от нее геометрии, они одновременно подправляют физические законы введением в них дополнительных сил, называемых универсальными, чтобы согласовать теоретическое описание с опытными данными. Эти универсальные силы, одинаковым образом действуя на все материальные объекты, например, на лучи света, на космические частицы, на кометы, позволяют объяснить различные особенности их движения силовым воздействием, а не искривлением пространства. Тем самым физические теории, включающие универсальные силы, берут на себя часть "геометрической нагрузки". Их уравнения фактически учитывают некоторые геометрические свойства мира.
Еще в 1894 году в одной из своих статей Пуанкаре затронул вопрос, обсуждение которого вылилось в многолетнюю дискуссию между математиками различных стран и школ. С каждым годом полемика угрожающе разрасталась, как снежный ком, вовлекая все новых и новых участников. Отдельные математические вопросы возвышались в споре до уровня общенаучных методологических установок. Аргументам противника противопоставлялись порой не математические доводы, а соображения общего порядка или же простая убежденность. И даже сама манера выражаться в полемических работах далеко отошла от строго математической.
