К моменту окончания Анри Пуанкаре лицея Политехническая школа одна во всей стране набирала и подготавливала претендентов на высшие технические должности в государственном аппарате и в армии. Это обстоятельство особенно подчеркивал Антона Пуанкаре, настойчиво рекомендуя своему племяннику поступать только в Политехническую школу. Ее выпускники направлялись для последующего обучения в специальные учебные заведения: Институт путей сообщения, Горный институт, Военно-инженерную школу, Артиллерийскую школу, которые непосредственно готовили офицеров артиллерии или инженерных войск, гражданских инженеров или высших государственных чиновников. Но выбор последующего специального учебного заведения не был свободным, а определялся качеством выпускного свидетельства. Владельцам лучших дипломов Политехнической школы был открытый доступ в любую из последующих специальных школ, и чем хуже был диплом, тем ограниченнее оказывался выбор.
Первые месяцы учебы Анри регулярно пишет в Нанси, поверяя сестре и родителям свои впечатления о школе и о парижской жизни, В его письмах, написанных ясным, четким стилем, мадам Пуанкаре и Алина с удивлением начинают обнаруживать специфические обороты и жаргонные словечки политехников, которыми Анри щеголяет с удовольствием и даже с некоторой лихостью. Со своими соучениками он поддерживает ровные приятельские отношения, ни с кем особенно не сближаясь. Старые дружеские связи влекут его на улицу Ульм, к окруженному небольшим садом аристократическому зданию Высшей Нормальной школы, где учится Аппель. В свободное от занятий время они нередко бродят вместе по улицам и бульварам среди предающихся фланерству парижан. Иногда к ним присоединяется Альбер Жилль, если ему удается вырваться из Сен-Сира.
Вечерние часы — самое оживленное время в столице. Отработавший люд высыпает на улицы. Окна магазинов, кафе и ресторанов, тянущихся без перерыва на всем протяжении бульваров, ярко освещены. К удивлению Анри, Париж так же великолепен и опрятен, как и в 1867 году, когда он приезжал сюда на Всемирную выставку. Поврежденные и разрушенные в 1871 году здания, которых оказалось не так уж много, восстанавливаются или застраиваются новыми. В развалинах остаются лишь Тюильрийский дворец, Ратуша и Контрольная палата. Захваченные беспечным весельем праздной толпы, бесцельно влекущейся по длинной аллее под темными кронами лип и вязов, друзья жадно вдыхают пьянящий воздух уличного раута, поневоле заражаясь радостно-возбужденным настроением. В свете многочисленных газовых фонарей по Елисейским полям движется сплошной поток пешеходов и экипажей: дамы в огромных, украшенных перьями шляпах, щеголи в сюртуках и цилиндрах, с тросточками в руках. Пройдя всю аллею от дворца Промышленности до Триумфальной арки, Анри и его спутники поворачивают и проделывают весь путь в обратном направлении до площади Согласия.
Система обучения в Политехнической школе такова, что знания буквально вколачивались в головы учащихся до полного овладения предметом. Помимо профессоров, которые вели основные курсы, имелся еще целый контингент репетиторов, в обязанности которых входило объяснять на занятиях лекционный материал и производить проверку знании. Тщательно продуманный учебный план предъявлял высокие требования к воспитанникам. «Все меры строгости, воздействия на честолюбие, окрыляемое перспективой блестящей жизненной будущности, привлекались здесь для того, чтобы заставить учащегося до крайности напрягать свои силы» — так отзывался ведущий немецкий математик Ф. Клейн о характере обучения в Политехнической школе того времени. Девиз школы — «За отечество, науки и славу» — ревностно проводился в жизнь.
Каждое занятие начинается с краткого воспроизведения материала предыдущей лекции, которое проделывает кто-нибудь из учащихся. Но литографические отпечатки лекций запаздывают и раздаются лишь спустя неделю, то есть через четыре занятия. При подготовке к очередному опросу политехникам приходится рассчитывать только на свои конспекты и на свое понимание лекционного материала. Поэтому они группируются вокруг сильных студентов, сообща прорабатывая все трудные и тонкие места прослушанной темы. Пуанкаре порой разочаровывает своих приверженцев тем, что не стремится к подробной записи лекций.
Курс математического анализа в Политехнической школе ведет первый математик Франции Эрмит, имя которого пользуется авторитетом в широких научных кругах Европы. Механику Пуанкаре слушает в изложении выдающегося ученого Резаля. Геометрию преподает достаточно известный в то время математик Маннгейм. Астрономию читает прекрасный астроном Фэй. Физика находится в ведении Корню, ставшего впоследствии председателем Французского физического общества. По окончании учебного года политехники сдают чрезвычайно строгие экзамены. Среди экзаменаторов имеются такие известные в научном мире имена, как Жордан (по математическому анализу), Брессе (по механике), Кабар (по физике). Помимо физико-математических дисциплин, учащимся преподаются химия, начертательная геометрия, черчение, фортификация, архитектура и даже история и литература.
Общение с прославленным Эрмитом создает у слушателей ощущение непосредственной причастности к великому таинству математического творчества. Он любит начинать свою лекцию словами: «Начнем с тождества…», после чего на доске появлялась формула, в точности и подлинности которой можно было не сомневаться, хотя лектор не считал нужным посвящать аудиторию в загадку ее происхождения. С этого отправного пункта Эрмит увлекал своих слушателей в захватывающее путешествие через удивительные математические метаморфозы и преобразования, пока они не достигали заветного результата. Казалось, что все излагаемые им идеи рождаются прямо на их глазах, что они присутствуют на потрясающем сеансе неповторимой математической импровизации.
Однажды Эрмит заболел, и заменял его Лагерр, еще одна математическая знаменитость. Кто-то из однокурсников попросил Анри объяснить сложнейшее доказательство, которое Лагерр провел на лекции. Но Анри по обыкновению не сделал записи и решил по памяти воспроизвести все выкладки. На очередном занятии репетитор Альфан вызывает к доске как раз того студента, которому Анри давал разъяснения. Внимательно выслушав ход его рассуждений, преподаватель пронизывающим взором окидывает фигуру у доски и спрашивает: «Это твое доказательство?» — «Это твое доказательство?» — как эхо переспрашивает незадачливый студент, обращаясь к Пуанкаре. Переждав, пока затихнет взрыв смеха в аудитории, Альфан удовлетворенно произносит: «Тогда я не удивляюсь». Через некоторое время Лагерр, которому Альфан рассказал об этом забавном эпизоде, подозвал к себе Анри и сообщил ему, что данное им доказательство является более простым, чем приведенное на лекции. «Не найдете ли вы время для того, чтобы заменить в отпечатках лекций мой метод доказательства вашим?» — обратился он к Пуанкаре с неожиданной просьбой.
