Когда при построении языковых выражений применяют наряду с точными аналогиями аналогии приблизительные, получается неточный язык, неточное знание, содержащее наряду с истиной немало заблуждений. Так как этим недостатком страдает наш повседневный язык, в том числе и язык ученых, возникло ошибочное мнение, будто построение языковых выражений зависит от нашего произвола. На самом деле не только язык первобытных людей, где аналогия определялась реально существующими отношениями, но и позднее возникшие языки имеют своей основой аналогии, не зависящие от нашей прихоти. В лучше всего построенном языке вовсе отсутствует какой бы то ни было произвол. Такова алгебра, поскольку в ней соблюдается в наибольшей степени аналогия, а следовательно, и наибольшая точность; она представляет собой «хорошо построенный язык, и это единственный такой язык: ничто там, по-видимому, не произвольно» (там же, 274).
В «Опыте…» точность знания рассматривается как отличительная черта математики. Позднее Кондильяк приходит к выводу, что точность знания в математике всецело обусловлена точностью языка, применяемого при исчислениях, а так как, пишет он в «Логике», всякое рассуждение есть исчисление, точный язык, а следовательно, и точное знание достижимы в прочих науках так же, как и в математике (см. там же, 254–255). Исследованию возможностей достижения такого знания пои священ «Язык исчислений».
Для идей, развиваемых в этом труде, большое значение имеет кондильяковская концепция происхождения математики (рассмотренная нами в гл. VI): манипулируя пальцами, человек стал их считать, приобрел идеи чисел, сложения, вычитания, умножения, деления, а благодаря аналогии обнаружил применимость этих идей ко «всем объектам вселенной» и пришел к другим, более сложным математическим действиям. Здесь мы вновь встречаем мысль о том, что наши практические действия всегда предшествуют теоретическим построениям и обусловливают их. Мы сначала практически оперируем с множествами конкретных материальных объектов (с пальцами, камешками и т. д.), а затем мысленно отделяем и отдельно рассматриваем аналогичные особенности отношений, обнаруженных во всех этих множествах, отвлекаясь от прочих особенностей этих объектов. Все вообще математические понятия, как бы сложны они ни были, суть, по Кондильяку, лишь различные преобразования понятий чисел первого десятка и понятий сложения, вычитания, умножения и деления. Все абстракции, которыми оперирует математика, отвлечены от реально существующих отношений во всевозможных множествах материальных объектов. Эти понятия фиксируют реально существующее сходство свойств между множествами, во всем прочем несходными.
То, что эти свойства реально присущи отношениям вещей, что именно в вещах объективного мира мы их обнаружили, — это для Кондильяка не подлежит сомнению. Об идеях чисел он говорит: «…первоначально мы заметили эти идеи в самих этих предметах и могли их заметить только там.
Сначала мы увидели их в пальцах, по мере того как отмечали последовательный порядок, в каком они разгибались и загибались. Затем мы увидели их во всех предметах, по мере того как производили с их помощью прямой и обратный счет, который мы вели с помощью пальцев» (там же, 293). дили с их помощью прямой и обратный счет, ко- нимание математических абстракций положено в основу рассуждений о любых абстракциях вообще.
В «Логике» доказывалось, что решение математической задачи сводится к сокращению и упрощению языковых выражений в уравнениях, формулирующих условия задачи, и к последовательной замене одних выражений другими, тождественными, или аналогичными, что тождественность, или аналогичность, легче всего обнаруживается, если (как это делается в алгебре) заменить словесные выражения условными знаками, буквами. Здесь эта мысль развивается обстоятельно.
Решая конкретные арифметические задачи, пишет философ, мы ряд отношений (больше, меньше, равно, сложить, разделить и т. д.) выражаем не словами, а условными знаками. Хотя в арифметике мы и пользуемся словами, однако при вычислении отвлекаемся от реальных предметов, оперируя лишь числами. Когда надо, например, разделить сто книг между десятью работниками, мы, вычисляя, действуем лишь с числами 100 и 10, вовсе не думая ни о работниках, ни о книгах; о них мы вспоминаем лишь, когда получен результат. Таким образом, совершаем ли мы исчисление, пользуясь только словесным языком, сочетаем ли мы словесные выражения с условными знаками (как это делается в арифметике) или же заменяем все слова условными знаками (как это делается в алгебре), мы фактически производим одни и те же операции и приходим к одним и тем же результатам. Но помимо того, что исчисление при помощи одних только условных знаков гораздо легче и точнее устанавливает тождественность, или аналогичность, выражений, «язык алгебры» обладает и другими преимуществами.
Когда, вычисляя, мы пользуемся словесным языком, нам необходимо держать в уме большое количество всевозможных сведений. Это требует от нас таких усилий, которые нередко превосходят возможности нашей памяти. В результате допускаются ошибки, обнаружить которые в большом количестве словесных выражений, образующих математическое рассуждение, очень трудно. Когда же мы вычисляем, пользуясь буквенными обозначениями алгебры, нам достаточно знать, что a, b, c и т. д. — это какие-то количества; никаких знаний ни о конкретных предметах, ни о конкретных числах здесь не требуется. К нашей памяти при этом предъявляются минимальные требования, а исчисление сводится к выполнению лишь простых действий, какие предусмотрены знаками «плюс», «минус» и т. д., действий, не требующих усилий. Всю цепь действий, из которых складывается сложное вычисление, можно легко проследить и тем самым избежать ошибок, связанных с пропуском какого-нибудь ее звена. Введение символики в математику принесло с собой еще одно преимущество, «которое нельзя было предвидеть: дело в том, что одна решенная задача дает решение всех подобных задач» (там же, 368–369).
Указывая на то, что язык условных знаков, символов, освобождает нас от необходимости задумываться над тем, к каким конкретным объектам и к каким конкретным величинам эти символы могут быть применены, Кондильяк пишет, что здесь «решение находят механически» (там же, 371). Но суть вычислительных действий независимо от того, производятся ли они на словесном языке или на языке условных знаков, символов, одна и та же; символика лишь выявляет эту суть, освобождая ее от всего, что ее заслоняет. Следовательно, чисто механический характер присущ самим исчислениям, самой математике; алгебраический язык лишь обнажает этот ее характер, делает его ясным.
