В 1950 году Джулия Робинсон, применив некоторые свойства уравнения Пелля, не смогла доказать, что определенное числовое множество, которое мы обозначим JR в честь Джулии Робинсон (его нельзя построить, но можно определить в терминах общей арифметики), является диофантовым (см. врезку, посвященную Алану Тьюрингу), но не вычислимым. Множество JR обладало некоторыми интересными свойствами — в частности, его элементы возрастали по экспоненциальному закону.
Доказать указанное свойство не удалось, однако эта гипотеза с высокой вероятностью считалась истинной. Далее будем называть эту гипотезу гипотезой JR. В 1959 году Мартин Дэвис и Хилари Патнем доказали, что при определенных условиях из гипотезы JR следует очень важный результат: любое рекурсивно перечислимое множество является диофантовым. Если выполняются начальные условия и гипотеза JR, то десятую проблему Гильберта можно считать решенной, и ответ на нее будет отрицательным.
* * *
НЕМНОГО ТЬЮРИНГА
При решении проблем разрешимости и вычислимости, а также логических задач обычно используются машины Тьюринга. Эти машины, придуманные английским ученым Аланом Тьюрингом (1912–1954), в действительности представляют собой идеальные математические абстракции вычислительных машин с бесконечной памятью. Представьте себе ящик с входным и выходным отверстиями, через которые проходит бумажная лента, разделенная на прямоугольные ячейки. В каждой ячейке записана цифра — 0 или 1. В крышке ящика есть смотровое отверстие, через которое в любой момент можно увидеть, какая цифра записана в ячейку. На каждом шаге цифру в ячейке можно заменить на 0 или 1. Аналогично, можно определить, куда следует переместить считывающее устройство на следующем шаге: влево или вправо. Новая записанная цифра и новое состояние машины зависят от текущего состояния машины, а следующий шаг (и следующее состояние) указаны в программе, записанной в управляющем устройстве. Программы различных машин Тьюринга отличаются. Прекратит ли машина работу, зависит оттого, что указано в программе. Может показаться, что от столь простого устройства не стоит ждать многого, однако потенциал машины Тьюринга огромен.
Простейшая схема работы машины Тьюринга.
Далее приведены три определения, тесно связанные с работами Джулии Робинсон и диофантовыми уравнениями. Они приводятся отдельно, так как используются в рассуждениях, самих по себе достаточно сложных.
— Перечислимое множество (по историческим причинам также называется рекурсивно перечислимым): множество целых чисел L называется перечислимым, если существует машина Тьюринга такая, что если ввести в нее целое число, она остановится на 1, если указанное число принадлежит L Если указанное целое число не принадлежит L, машина может остановиться на 0 или не остановиться никогда.
— Вычислимое множество: множество С называется вычислимым, если существует программа машины Тьюринга такая, что для любого введенного целого числа машина останавливается на 1, если это число принадлежит С, в противном случае — на 0. Чуть менее понятное, но эквивалентное определение вычислимого множества таково: множество С называется вычислимым тогда и только тогда, когда С и его дополнение С― являются перечислимыми. Очевидно, что любое вычислимое множество является перечислимым, но не наоборот.
— Диофантово множество: множество целых чисел D называется диофантовым, если его можно определить с помощью многочлена Р (x1, x2, xt) от переменных d, t, x1, x2…., xt >= 1 с целыми коэффициентами такого, что Р обращается в ноль при присвоении целых значений x1, x2…., xt тогда и только тогда, когда d равно одному из элементов множества D.
Алан Тьюринг.
* * *
Всего годом позже в игру вступила Джулия Робинсон: ей удалось упростить задачу и устранить неудобные начальные условия, описанные Дэвис и Патнем. Ситуация была такова: если возможно множество вида JR, то десятая проблема Гильберта будет решена. Достаточно найти диофантово уравнение с определенными решениями, возрастающими экспоненциально, но это уравнение ускользало от математиков. Открытие было совершено в 1970 году, спустя почти 30 лет поисков. Юный математик Юрий Матиясевич из Советского Союза представил колоссальную систему диофантовых уравнений:
Если мы возведем обе части всех этих уравнений в квадрат и сложим их почленно, то получим одно уравнение, которое будет иметь те же решения на множестве натуральных чисел, что и вся система. Полученное уравнение будет удовлетворять необходимым начальным условиям.
Матиясевич получил приведенные выше десять уравнений не случайно: он использовал в работе весьма остроумные методы. Ключевую идею математик заимствовал из теоремы, доказанной в 1942 году и затерянной на страницах третьего издания старенькой книжечки под названием «Числа Фибоначчи» советского математика Николая Воробьева. Для десяти приведенных выше уравнений выполняется равенство v = F2 м, где Fi — i-e число Фибоначчи. Интересно, что эта теорема приводится только в третьем издании книги Воробьева и отсутствует в первых двух.
Условия, которым удовлетворяют решения уравнения Матиясевича, согласуются с условиями гипотезы JR. Следовательно, мы можем говорить уже не о гипотезе, а о доказанной теореме. Неуловимое множество JR было найдено, следовательно, десятая проблема Гильберта решена: искомого чудесного алгоритма не существует.
Таким образом, путем невероятных умственных усилий удалось доказать: не существует алгоритма, позволяющего определить, имеет ли решение произвольное диофантово уравнение. Всегда найдется уравнение, перед которым спасует любой алгоритм.
Решение десятой проблемы Гильберта основано на тонком различии между перечислимым и вычислимым множеством. Матиясевич, Робинсон, Дэвис и Патнем доказали прекрасный и удивительный результат:
Множество является перечислимым (рекурсивно перечислимым) тогда и только тогда, когда оно является диофантовым.
