Остальные три темы носили более специальный математический характер. Во второй теме предлагалось в явном виде получить функции двух переменных, родственные уже известным ультраэллиптическим функциям, но только более общие. В третьей теме предлагалось продолжить исследования Брио и Буке, изучавших функции, определяемые дифференциальными уравнениями специального вида. Наконец, в четвертой теме обращалось внимание на то, что введенные Пуанкаре фуксовы функции еще не изучены с алгебраической точки зрения, как это проделано для эллиптических функций. Предлагалось заполнить этот пробел.
Безусловно, конкурс должен был заинтересовать Пуанкаре. И не только потому, что Миттаг-Леффлер настойчиво предлагает ему принять участие, равно как Аппелю и Пикару. Все три последние темы явно находятся в сфере его научных интересов. Вторая задача, по существу, родственна задаче построения фуксовых функций. Исследования Брио и Буке в свое время тоже очень интересовали Анри и стимулировали его первые научные работы. А четвертая тема по самой постановке была естественным продолжением и развитием его работ по фуксовым функциям. Так что ни для кого из математиков не было сюрпризом участие Пуанкаре в этом международном конкурсе.
Удивительным оказалось другое: для своей конкурсной работы он выбирает первую тему, не примыкающую, казалось бы, к основным направлениям его математических исследований.
Но это впечатление неверно. Еще в 1883 и 1884 годах, в самый разгар своих работ по качественной теории дифференциальных уравнений и но фуксовым функциям, Пуанкаре как бы между делом публикует две заметки, касающиеся некоторых частных решений задачи трех тел. Поначалу они не привлекли серьезного внимания, затерявшись в лавине его статей. Никто не подозревал, что это была уже заявка на будущую большую тему, к которой он был подготовлен всем своим предыдущим творчеством. Ведь как-никак решение знаменитой задачи небесной механики тоже, упирается в проблему интегрирования дифференциальных уравнений, которая стала побудительным мотивом многих его исследований.
До истечения срока подачи работ оставалось совсем немного, когда Пуанкаре вплотную приступил к задаче трех тел. В июле 1887 года он сообщает в ответном письме Миттаг-Леффлеру, что не забыл о конкурсе и вот уже месяц или два занимается исключительно выбранной темой. Анри пришел к твердому убеждению, что "не следует пытаться проинтегрировать задачу в функциях известных или сколько-нибудь с ними схожих". Располагая некоторыми результатами по упрощенному варианту задачи, он надеется, что сможет приступить к самому общему случаю. И далее заключает: до 1 июня 1888 года (срок приема конкурсных работ) "я если и не решу задачу полностью (на это я не надеюсь), то найду достаточно полные результаты, чтобы их можно было представить на конкурс". Итак, оставалось уже меньше года, а вся основная работа была еще впереди.
"Не перейдут светила предписанных границ"
После тщательного разбора всех одиннадцати безымянных работ, представленных под девизами из разных стран, жюри конкурса признало лучшими две из них. Одна работа принадлежала Полю Аппелю и называлась "Об интегралах функций со множителями и об их применении к разложению абелевых функций в тригонометрические ряды". По-видимому, это исследование было выполнено по второй конкурсной теме. Другая работа имела в качестве девиза строчку из латинского стихотворения: "Nunquam praescriptos transibunt sidera fines", что в переводе означает: "Никогда не перейдут светила предписанных границ". Это был мемуар Анри Пуанкаре. Обе работы были удостоены премии на равных основаниях. Друзья разделили славу и почести. Извещая Жозефа Бертрана, непременного секретаря Академии наук Франции, о результатах конкурса, Миттаг-Леффлер в письме от 18 февраля 1889 года выражал мнение жюри об исследовании Пуанкаре: "Премированный мемуар окажется среди самых значительных математических открытий века и станет новым основанием для уважения со стороны всех геометров, которое Пуанкаре снискал своими поразительными открытиями". Французское правительство тоже отметило международный успех молодых ученых: оба лауреата были представлены к кавалерам ордена Почетного легиона.
Друзья и близкие Анри еще раз смогли убедиться, что непомерную интенсивность и исключительную продуктивность его умственного труда нельзя объяснить кратковременной, быстро гаснущей вспышкой. Уплотненный темп работы мысли, концентрированный поток сознания, не знающего, что такое усталость и истощение, свидетельствуют о глубинном "резервуаре небывалой интеллектуальной мощи", выражаясь словами Джона Сильвестра. Знаменитый труд "О проблеме трех тел и об уравнениях динамики", поразивший всех многообразием и значительностью полученных результатов, был создан им практически в течение года. Вместе с мемуаром Аппеля он составил целый выпуск журнала "Акта математика" за 1890 год.
Открывается этот том отзывом Ш. Эрмита о работе П. Аппеля. Отзыв о работе А. Пуанкаре должен был писать другой член жюри — К. Вейерштрасс, который сам много лет уделял внимание задаче трех тел. Еще в 1881 году он писал С. Ковалевской: "Твое присутствие побудило меня снова взяться за мои старые исследования по интегрированию дифференциальных уравнений динамики. Я сделал некоторые успехи, но передо мною все еще стоят трудности, которые иногда кажутся мне непреодолимыми. Этой зимой на семинаре я подробно рассмотрел существование метода определения движений планет в условиях нашей планетной системы и все более приходил к выводу, что для правильного решения связанной с этим проблемы надо идти совершенно иными путями, чем до сих пор, но эти новые пути представляются мне только в тумане". После объявления конкурса Вейерштрасс в письме к Миттаг-Леффяеру прямо говорит о том, что сам интересовался первой конкурсной темой и даже получил в свое время доказательство ее разрешимости. "Но это доказательство достаточно сложное, — признается он, — я его забыл, а при попытке его восстановить у меня, как обычно бывает, возникли различные сомнения".
Будучи хорошо знаком с задачей и с трудностями ее решения, Вейерштрасс весьма квалифицированно подошел к разбору результатов Пуанкаре, высказав ему ряд претензий. Он нашел изложение во многих местах трудным и недоработанным. Вполне основательный упрек, если вспомнить, что вся работа создавалась Анри за очень короткий срок, исключающий возможность тщательного редактирования. Некоторые из приведенных доказательств Вейерштрасс считал недостаточно строгими. Им было высказано пожелание, чтобы до опубликования мемуара Пуанкаре тщательно пересмотрел его и по возможности устранил указанные недостатки. Идя навстречу этим требованиям, Пуанкаре добавил к первоначальному тексту несколько дополнительных замечаний и исправил допущенную им в одном месте ошибку.
