Тиссеран подвел итоги развития небесной механики вплоть до последнего десятилетия XIX века. Задача почетная и исключительно важная для науки. Но после ознакомления с его «Трактатом» неизбежно возникал вопрос: а что же дальше? Ответ можно было найти в трехтомном труде Пуанкаре, первый том которого вышел в 1892 году, второй — год спустя, а третий — в 1899 году. Направленность этого сочинения уже другая — открыть новые перспективы и новые возможности в небесной механике. Оно так и называется: "Новые методы небесной механики". Излагаются в нем почти исключительно собственные, оригинальные результаты автора. Его конкурсная работа по задаче трех тел почти целиком вошла в один из этих томов.
Необыкновенного богатства идей и обилия новых плодотворных методов, развитых Пуанкаре в этом труде, вполне хватило бы, чтобы прославить не одного ученого. Подобно тому как в свое время Эйлер на основе успехов математической мысли XVIII века обогатил теоретическую астрономию новыми средствами решения задач, удовлетворив ее потребности на многие десятилетия, так и Пуанкаре за короткий срок творчески переосмыслил и обновил складывавшийся в течение двух столетий математический аппарат небесной механики, использовав самые последние достижения математики. Исключительно высоко оценивает его труд известный советский ученый и большой знаток истории небесной механики Г. Н. Дубошин: "Это сочинение по его значению для небесной механики, а также для механики вообще, для математики и физики можно сравнить разве только с другим бессмертным сочинением… — «Началами» великого Ньютона". Это был новый ураган научных идей и методов, которые немедленно перекочевали в другие разделы точного естествознания, став незаменимым инструментом глубокого теоретического исследования самых различных задач. До сих пор при первом знакомстве с ними они оставляют ощущение оригинальности и неожиданности.
Сведя воедино около тридцати своих статей и мемуаров по небесной механике, Пуанкаре как бы замкнул определенный этап своего творчества, если так можно сказать о творчестве, не прекращавшемся ни на минуту. Подобно Лапласу, он тоже обращается на первых страницах своего труда к фундаментальнейшему закону науки — закону всемирного тяготения: "Конечная цель небесной механики состоит в разрешении великого вопроса, может ли закон Ньютона, и только он один, объяснить все астрономические явления". Но интонация этого предваряющего высказывания уже несколько иная, чем у его знаменитого предшественника. Взгляды ученых на содержание и назначение небесной механики проэволюционировали вместе с этой наукой от Лапласа к Тиссерану и Пуанкаре. Тот факт, что все три классических труда по небесной механике написаны французскими авторами, свидетельствует о ведущей роли французской школы в этой области знания.
Явление большого ученого — это не только переосмысление старых проблем науки с помощью новых, оригинальных методов, это еще и новое прочтение старых, уже испытанных методов исследования под совершенно необычным углом зрения.
По мере того как все яснее становилась практическая неразрешимость большей части дифференциальных уравнений, математики постепенно меняли свое мнение о том, что понимать под их решением. Первоначально само собой разумелось, что результаты интегрирования должны представляться известными функциями. Но круг интегрируемых таким образом уравнений оставался весьма узким. Поэтому согласились считать решением всего лишь промежуточный результат на пути к нему — некое математическое выражение, стоящее под знаком интеграла. Примирились с тем, что не удается довести дело до желаемого конца и записать итог в более приемлемом виде. Вскоре и такое решение расширенного толка показалось не всегда доступной роскошью. Тогда математики, продолжая следовать по пути снижения своих требований, стали включать в понятие «решение» еще более странные математические объекты.
Еще в XVIII веке результат интегрирования дифференциального уравнения выражали порой в виде бесконечного ряда слагаемых, каждое из которых строилось с помощью известных функций по определенному правилу. Обоснованное истолкование этого метода было получено в первой половине XIX века, когда математики убедились, что такие бесконечные ряды тоже являются своеобразными функциями. Более того, каждую известную в то время функцию можно было разложить в подобный бесконечный ряд, но далеко не каждому ряду можно было сопоставить какую-либо функцию. Это наталкивало на мысль, что ряды образуют более широкий класс функций, намного перекрывающий всю совокупность алгебраических, трансцендентных и высших трансцендентных функций. Тогда естественно было искать решение дифференциального уравнения в виде бесконечного ряда, если его невозможно получить в обычных функциях.
Интегрирование дифференциальных уравнений рядами имело исключительно важное значение для небесной механики. Этот метод позволял рассчитывать координаты небесных тел на небосводе для любого момента времени, то есть удовлетворял основную насущную потребность практической астрономии. Необходимо только, чтобы полная сумма всех членов ряда была конечной величиной, несмотря на бесконечное число слагаемых. Ничего парадоксального в этом требовании не было. Например, бесконечная сумма чисел: 1/2 +1/4 +1/8+ и так далее, в которой каждое последующее слагаемое вдвое меньше предыдущего, равна в точности единице. Математики, уже много раз имевшие дело с аналогичными рядами, только составленными из функций, а не из чисел, называли их сходящимися. Слагаемые в таком бесконечном сходящемся ряду должны неуклонно уменьшаться по величине с удалением от начала ряда. Тогда для практических расчетов можно ограничиться суммой некоторого числа первых, наибольших членов ряда и получить приближенное значение решения. Вклад неучтенных, отброшенных слагаемых в общую сумму будет существенно меньшим. Так, в приведенном выше числовом ряду сумма первых трех слагаемых равна 7/8, то есть близка к единице, и только 1/8 приходится на долю бесконечной вереницы оставшихся его членов.
При таком методе абсолютно точное решение остается неизвестным, поскольку невозможно просуммировать бесконечное число слагаемых. Но астрономов-практиков вполне устраивали их приближенные расчеты. Ведь ограничения на точность были чисто техническими. Всегда можно добавить к вычисленной сумме одно-два слагаемых и тем самым еще приблизиться к истинному значению искомой величины. При желании такое уточнение можно продолжать беспредельно, сдерживает только непомерно возрастающий объем вычислений. Да и не нужны чересчур уж скрупулезные расчеты, точность которых превышает возможности астрономических приборов. А если у кого-то и были претензии к приближенным теоретическим результатам, так ведь точное решение все равно недоступно. Поэтому математики продолжали совершенствовать метод интегрирования дифференциальных уравнений рядами.
