dV (M1 + M) =V1dM ; (1)
где М - запас топлива на ракете в данный момент полета;
M1 - сухая масса ракеты;
V1 - скорость истечения продуктов сгорания;
V - скорость ракеты.
Разделив переменные и интегрируя, он получил:
или V / V1 = - ln (M1 + М) + С где: C = const
До запуска, когда V = 0, М = М2, т.е. начальному запасу топлива на ракете.
Тогда С = ln (M1 + М2);
значит:
Наибольшая скорость получится, когда сгорит все топливо, т.е. когда М = 0, т.е.
или
Vmax = V1 ln (1 + Z) (3)
Число Z называют ныне числом К.Э. Циолковского.
"Отсюда мы видим, - писал он, - что скорость V снаряда возрастает неограниченно с возрастанием количества М2 взрывчатых веществ. Значит, запасаясь разными количествами их, при разных путешествиях мы получим самые разнообразные окончательные скорости" [110, с. 77-78].
Но вот тут-то он уже и ошибся. Дело в том, что запас топлива на ракете хоть и может быть любым, но фиксированным оказывается отношение его массы к массе конструкции, т.е. число Z, которое в процессе развития ракет хотя и изменялось, но всегда имело некоторый свой логический предел, обусловленный конструктивными и технологическими особенностями. К.Э. Циолковский принял неслыханную и поныне скорость истечения V1 = 5700 м/с (для водородно-кислородного топлива она составляет примерно 4500 м/с) и по формуле (3) получил, что Z приблизительно равно 3 для обеспечения первой космической скорости.
Он проводил расчет даже до Z = 200, не понимая, что это расчет абсурда. Для современных одноступенчатых ракет еще в полной мере не удается обеспечить Z = 10, необходимое для их выхода на орбиту.
Н.Д. Моисеев отмечал, что К.Э. Циолковский в своих расчетах все округления и допущения всегда делал так, что погрешность шла в запас [40, с. 27]. Но этому своему правилу в работе [11О] он явно изменил.
Проведя соответствующие расчеты по формуле (3), он пришел к выводу о том, что:
"При отношении M2 / М1, равном шести, скорость ракеты почти достаточна для удаления ее от Земли и вечного вращения вокруг Солнца в качестве самостоятельной планеты. При большем количестве взрывчатого запаса возможно достижение пояса астероидов и даже тяжелых планет" [11О, с. 83].
Он считал, что "...всевозможной величины снаряды с любым числом путешественников могут приобретать скорости желаемой величины", ... "лишь бы запас взрывчатых веществ М2 возрастал пропорционально возрастанию массы M1 ракеты" [110, с. 82]. Но он не понимал, что величина Z ограничена возможностями природы и пропорционально отношение М2/ M1 может изменяться при недостаточно больших Z.
Формула (3) не учитывает потери в скорости ни за счет притяжения Земли, ни в результате воздействия аэродинамического сопротивления. Кроме того, в расчете использовалась экстремальная скорость истечения газов, причем даже без учета ее потерь из-за кпд двигателя. Значение этого кпд он мог ориентировочно принять таким, как у двигателей внутреннего сгорания, и тогда его ракета уже не выходила бы на орбиту.
В этой же работе он сделал, казалось бы, разумный шаг: он попытался определить влияние силы тяжести на скорость ракеты. При этом он пользуется формулами из школьного курса физики и совершенно не затрагивает специфики ракетного движения. Он писал: V = a t ; (4)
где: V - скорость ракеты в среде без тяжести и аэродинамического сопротивления; а - ускорение прямолинейного движения; t - время.
(У него было записано так: t = V/P где Р - ускорение; мы здесь заменили Р на а). К.Э. Циолковский вводит далее силу земного притяжения:
где V - скорость ракеты в конце активного участка при постоянном ускорении свободного падения g.
Комбинируя (4) и (5), он получил:
Подставив (6) в (2), он приходит к зависимости конечной скорости ракеты в среде с силой притяжения:
К.Э. Циолковский использует далее эту формулу для расчетов каких-то экзотических, второстепенных режимов движения. Например, он вычислил сколько времени простояла бы неподвижно ракета с работающим двигателем на Земле и на Луне если бы g = a.
Некоторые наблюдения были хоть и полезными, но, тем не менее, не актуальными. Например, он заметил, что если а -> ∞, то скорость ракеты будет одинакова в среде с притяжением и без него (без аэродинамического сопротивления, конечно), т.е. что выгоднее сжигать сразу все топливо на Земле.
Далее он, положив, что g/a = 10, M2M1 = 6 нашел, что V2 = 9990 м/с [110, с. 89]. Казалось бы, что, наконец-то, круг замкнулся и то, ради чего была получена формула (7), сейчас будет достигнуто - ведь теперь уже очевидно, что числа Z = 6 не хватает для достижения второй космической скорости:
А ведь еще есть аэродинамическое сопротивление, к.п.д. двигателя. Если на каждое из этих слагаемых набросить тоже всего по 10%, то теперь уже потери в скорости составят 30%.
Однако К.Э. Циолковский отметил лишь прямо противоположное: "Мы нашли V2 = 9900 м/с, т.е. такую скорость, которая лишь немного менее скорости V, приобретаемой в среде, свободной от силы тяжести при тех же условиях взрыва" [110, с.89].
Об этой проблеме он думал всю свою жизнь. В 1935 году он писал о том, что чем больше он работал, тем больше находил разные трудности и препятствия на пути в космос, но в последнее время "...найдены приемы, которые дадут изумительные результаты" [166, с. 419].
Под этими приемами он понимал принцип многоступенчатых ракет, и как только он этот принцип для себя открыл, тотчас нашлись у него аргументы, свидетельствующие о невозможности осуществления межпланетного полета с помощью одноступенчатой ракеты.
В работе [128], которую он писал в конце жизни и не закончил, он прямо отметил, что не удается обеспечить скорость истечения продуктов сгорания на уровне 5-6 км/с, да и стартовая масса ограничена, он также сделал предположение о том, что в ракете может с полезными целями использоваться всего 70% энергии топлива, а скорость истечения может достигать всего 4 км/с [128, с. 421].
Проведя расчеты, он пришел к выводу о том, что "...практическая скорость едва достаточна для роли близкого земного спутника" [128, с. 422].
Таким образом, он в конечном итоге и сам признал, что предложенный им проект ракеты был не пригоден для обеспечения межпланетного полета, т.е. был фантастичным, гипотетическим, но это произошло уже тогда, когда он нашел, как ему казалось, способ решения этой проблемы.
Допустим, что ракета К.Э. Циолковского все-таки отправилась в межпланетное путешествие или, скажем, на Луну. Для этого она должна была не только набрать вторую космическую скорость, но и при посадке погасить ее до нуля, что требует увеличить запасы топлива. Этому вопросу К.Э. Циолковский уделил в своей работе [110] самое пристальное внимание, посвятив ему отдельный раздел.
Для того, чтобы понять как формировались мифы о К.Э. Циолковском, рассмотрим его изложение А.А. Космодемьянским.
Он писал:
"В научной литературе по ракетодинамике совсем не упоминается о приоритете К.Э. Циолковского, впервые решившего задачу о мягкой посадке на астероид или планету без атмосферы. А это было сделано ученым еще в работе 1903 г., где есть небольшой раздел, озаглавленный "Среда тяжести. Отвесное возвращение на Землю" [27, с. 85-86].
И далее:
"Дадим элементарный вывод одного из результатов Циолковского. Рассмотрим свободное пространство и ракету, получившую скорость V1 = Vr ln(1 + Z);
Погасить скорость V1 в свободном пространстве (посадка на астероид) эквивалентно возможности иметь в ракете начальный запас топлива для получения скорости V2 = 2V1; т.е.
V2 = 2 Vr ln(1+Z1) = Vr ln(1+ Z1)2 = Vr ln(1 + Z2);
где Z2 - число Циолковского, обеспечивающее получение ракетной скорости V (и ее уменьшение до нуля (мягкая посадка!). Легко понять, что
Эта формула приводится на стр. 92 указанной работы Циолковского. Он пишет, что из полученной формулы "...видим, как недопустимо громаден запас взрывчатого материала, если мы хотим приобрести очень большую скорость и потерять ее" [110, с. 92].
В самом деле, - продолжает А.А. Космодемьянский, - пусть Z1 = 9 (это обеспечивает получение первой космической скорости при известных современных топливах), тогда из формулы (9) получаем:
