Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже болѣе не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цвѣтковъ для болѣе легкаго вопроса, для умноженія дроби на цѣлое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.

Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ мѣстъ начальной ариѳметики.

Дѣленіе. Дѣленіе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполнѣ логично заключали, что дѣленіе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычкѣ къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единицѣ, они и дѣленіе разсматривали съ точки зрѣнія этихъ дробей. Примѣръ: 2 : 1⅓ ¼. Здѣсь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1⅓ ¼, иначе сказать 1 + ⅓ + ¼, чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1⅓ ¼ на ⅔ ⅓ 1/6 1/12, и получаемъ 285/144; при этомъ отдѣльно помножается множимое число на ⅔, на ⅓, на 1/6 и на 1/12, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое слѣдующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ 285/144 отличается отъ даннаго числа 2 на 3/144, т.-е. на 1/72 1/144, то остается рѣшить вопросъ: на какое число надо умножить 1 ⅓ ¼, или 288/144, чтобы получить сперва 1/144? Очевидно, на 1/228. Чтобы получить 1/72, надо умножить на 1/114 Такимъ образомъ, послѣ довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: ⅔ ⅓ 1/6 1/12 1/114 1/288, который и считался у египтянъ вполнѣ нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь ⅔ у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).

Римскій способъ дѣленія дробей напоминаетъ собой римскій же способъ дѣленія цѣлыхъ чиселъ. Вотъ примѣръ Бернелинуса (въ XIII ст. по Р. X.). Раздѣлить 28 на 1¾. Дѣлится 28 не на 1¾, а на 2, т.-е. дѣлитель дополняется до цѣлаго числа, 28 : 2=14; теперь надо составить лишекъ или сдачу, которую слѣдуетъ возвратить дѣлимому; такъ какъ на каждую часть взято лишняго по ¼, то на всѣ 14 частей пришлось З½, дѣлимъ З½ на 2, будетъ въ частномъ 1, въ остаткѣ 1½; сдачи возвратится ¼, всего составится въ дѣлимомъ 1¾; дѣлимъ это количество на 1¾ и получимъ въ частномъ 1; такимъ образомъ, весь искомый результатъ будетъ 14 + 1 + 1 = 16.

Неморарій, математикъ среднихъ вѣковъ, современникъ Бернелинуса, пользуется для дѣленія аналогіей съ умноженіемъ и даетъ слѣдующій искусственный пріемъ. Задано раздѣлить 2/3 на 4/5. Тогда числитель и знаменатель первой дроби увеличивается въ 4 × 5 разъ и затѣмъ примѣняется правило: числителя раздѣлить на числителя, а знаменателя на знаменателя, подобно тому, какъ въ умноженіи дробей множатся числитель на числителя и знаменатель на знаменателя.

Получается формула:

Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ XIII вѣка, совѣтовалъ приводить дроби къ одному знаменателю и потомъ уже дѣлить, пользуясь аналогіей съ именованными числами, такъ какъ тамъ, обыкновенно, мѣры раздробляются въ одинаковое наименованіе, и затѣмъ полученныя числа дѣлятся. Примѣръ у Фибонначи слѣдующій:

Въ XVI ст. по Р. X. на сцену вышло новое правило дѣленія дробей: надо дѣлимое помножить на обращеннаго дѣлителя. Примѣръ: ¾ : ⅔. Для рѣшенія его множимъ ¾ на 3/2, получимъ 9/8, это и будетъ вѣрнымъ отвѣтомъ. Въ объясненіе этого правила, равно какъ и всѣхъ другихъ, авторы учебниковъ входить не любили. Они только ограничивались тѣмъ, что приводили самое правило и потомъ нѣсколько примѣровъ съ рѣшеніемъ. Ученики же запоминали правило и практиковались въ примѣненіи его къ вычисленіямъ.

Знакомъ дѣленія до XVIII ст. являлись, обыкновенно, двѣ перекрещивающихся черты, которыя шли отъ числителя первой дроби къ знаменателю второй и отъ знаменателя первой къ числителю второй. Только съ развитіемъ алгебры, когда потребовался общій знакъ дѣленія и для цѣлыхъ чиселъ и для дробей, стали обозначать это дѣйствіе такъ же въ дробяхъ, какъ и въ цѣдыхъ числахъ, т.-е. двумя точками.

Приведемъ еще неболыпой интересный отрывокъ, который хорошо показываетъ, къ какимъ хитростямъ нужно было прибѣгать средневѣковымъ ученымъ, когда имъ давался трудный примѣръ съ дробями. Въ Зальцбургскомъ (Австрія) сборникѣ, отноеящемся къ XVII вѣку[1], надо было вычислить земной радіусъ по окружности земли. Извѣстно, что окружность въ 31/7 раза больше своего радіуса, и поэтому, чтобы получить радіусъ земли, достаточно ея окружность раздѣлить на 22/7. Принимая окружность за 252000, составитель находитъ 7/22 этого числа, т.-е. умноженіемъ на 7/22 замѣняетъ дѣленіе на 22/7. Умноженіе же онъ ведетъ такъ. Сперва вычисляетъ 1/22 всего числа, получится 11454½, затѣмъ вычитаетъ эту величину изъ 252000, будетъ 240544½ 21/22. Треть этого числа и составитъ искомый отвѣтъ, т.-е. земной радіусъ, такъ какъ 21/22 : 3 = 7/22.

Древніе халдеи, образованность которыхъ исходитъ изъ глубины вѣковъ и позволяетъ прослѣдить свои пути далѣе, чѣмъ на 1000 лѣтъ до Р. X., издавна любили считать по копамъ, т.-е. группами по 60. Почему они остановились именно на этомъ числѣ,—теперь рѣшить, конечно, нелегко, но выборъ этотъ надо считать чрезвычайно удачнымъ, такъ какъ число 60 обладаетъ массой дѣлителей и, слѣдов., рѣже приводитъ къ дробямъ, чѣмъ большинство другихъ чиселъ, и позволяетъ дѣлать много упрощеній. Халдеи примѣняли шестидесятеричный счетъ вездѣ: и въ торговыхъ дѣлахъ, и въ научныхъ выкладкахъ, особенно же въ любимой своей наукѣ, которая многимъ обязана ихъ трудамъ,—въ астрономіи. Привычка къ числу 60 сама собой перешла и на дроби, и вотъ у халдеевъ явились шестидесятеричныя дроби, т.-е. со знаменателемъ 60, 3600 = 60. 60, 216000 = 60. 60. 60. Эти дроби примѣнены были въ астрономіи къ дѣленію времени, такъ что часъ сталъ дѣлиться на 60 равныхъ частей (минутъ), минута на 60 секундъ, секунда на 60 терцій и т. д. Всѣ простыя дроби халдеями обыкновенно приводились въ шестидесятыя доли и даже, напр., ⅔ они выражали не иначе, какъ черезъ 40/60.

Отъ халдеевъ шестидесятеричныя доли перешли къ индусамъ и арабамъ, и также къ грекамъ. Особенно онѣ были разработаны греческими учеными, жившими въ Александріи въ первые вѣка по Р. X. Знаменитый астрономъ Клавдій Птоломей (во II в. по Р. X.), система котораго держалась болѣе тысячи лѣтъ и признавалась въ свое время геніальнымъ твореніемъ, писалъ, обыкновенно, шестидесятеричныя дроби безъ знаменателя. Для этого онъ цѣлыя числа подчеркивалъ горизонтальной чертой, шестидесятыя доли отмѣчалъ значком ′, 3600-ыя значком ″, 216000-ыя доли значкомъ ‴ и т. д., смотря по ихъ разряду. И это дѣлалось не только при измѣреніи времени и при градусахъ дуги, но и въ мѣрахъ длины и въ другихъ мѣрахъ. Такъ, напр., Птоломей выражаетъ сторону правильнаго вписаннаго десятиугольника черезъ — 37 4′ 55″, при діаметрѣ круга, равномъ 120. Это значитъ, что если діаметръ составляетъ 120, то сторона равняется

такихъ же единицъ (по порядку, принятому въ настоящее время въ геометріи, сторону эту можно выразить въ десятичныхъ дробяхъ чрезъ 0,30902, при діаметрѣ, равномъ единицѣ).

Горизонтальная черта, которой подчеркивались цѣлыя чиcла, была замѣнена впослѣдствіи знакомъ °, и самимъ долямъ были присвоены названія: минуты, секунды, терціи и т. д. Что значатъ эти слова? Минута значитъ «доля», и долго послѣ Птоломея, болѣе тысячи лѣтъ, всевозможныя доли всегда назывались минутами (minutae). Къ слову минута присоединялось, обыкновенно, слово прима (prima), и выраженіе «minuta prima» обозначало первыя доли, иначе сказать доли перваго порядка, т.-е. со знаменателемъ 60. Далѣе шли доли со знаменателемъ 3600, онѣ назывались минутами секундами, т.-е. долями второго порядка, такъ какъ 3600 = 60·60. Потомъ слѣдовали минуты терціи, доли третьяго порядка, у которыхъ знаменатель 60·60·60.

Шестидесятеричныя дроби, какъ мы уже сказали, служили не только для геометріи и астрономіи, но являлись преобладающими во всѣхъ наукахъ и даже въ практической жизни. Онѣ стали терять свое значеніе только тогда, когда начали вводиться десятичныя дроби, приблизительно около ХVІ в. по Р. X. Кромѣ того, въ торговыхъ разсчетахъ нѣкоторую конкуренцію имъ составляли обыкновенныя дроби, которыя носили названіе «простонародныхъ», а также унціи, изучавшіяся во всѣхъ латинскихъ школахъ.

Первые намеки на десятичныя дроби можно прослѣдить у творцовъ ариѳметики,—индусовъ. Они пользовались ими при извлеченіи квадратныхъ корней, въ тѣхъ случаяхъ, когда корень не извлекается точно; тогда они прписывали столько паръ нулей, сколько желательно имѣть лишнихъ знаковъ въ корнѣ. Индусы писали десятичныя дроби со знаменателями, и имъ не удалось распространить общей десятичной нумераціи также и на дроби. Заслуга въ этомъ отношеніи принадлежитъ арабамъ, и въ частности тѣмъ арабамъ, которые жили въ Испаніи. Между 1130 и 1150 г. по Р. X. появилось въ Толедо сочиненіе «Практическая ариѳметика алгоризма», принадлежащее Іоанну Севильскому. У него уже замѣтны явственные слѣды десятичныхъ дробей, и при томъ съ такимъ характеромъ, какой онѣ носятъ у насъ.