Всеволод Беллюстин - Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

, отсюда

слѣдовательно, скидка или учетъ по векселю составляетъ

Постепенное погашеніе государственныхъ долговъ, устройство лоттерей, покупка капитала путемъ періодическихъ взносовъ, различные виды страхованія и другія банковскія и коммерческія операціи требуютъ вычисленій, основанныхъ на правилѣ сложныхъ процентовъ и на теоріи вѣроятностей. Эти вычисленія составляютъ предметъ такъ назыв. политической (коммерческой) ариѳметики. Терминъ «политическая ариѳметика» былъ въ большомъ ходу во 2-й половинѣ XVIII столѣтія. Въ новѣйшее время этотъ отдѣлъ обработанъ съ большой полнотой вѣнскими профессорами Шпитцеромъ и Габерлемъ. Въ XIX столѣтіи самое понятіе о процентѣ расширилось, благодаря введенію его въ статистику. Теперь уже отброшено старое опредѣленіе процента, какъ прибыли или убытка на сто рублей капитала, и вмѣсто того говорятъ, что процентъ просто сотая доля количества. Это опредѣленіе принимается, обыкновенно, во всѣхъ новѣйшихъ учебникахъ.

Скажемъ теперь нѣсколько словъ о правилѣ, которое у нѣмцевъ носитъ названіе «Terminrechnung», а у насъ озаглавливается „вычисленіе сроковъ платежей“. Оно примѣняется тогда, когда нѣсколько капиталовъ, отданныхъ на разные сроки и по разному числу процентовъ, надо замѣнить общимъ капиталомъ, съ тѣмъ, чтобы онъ уплачивался въ общій срокъ. Расчетъ долженъ быть основанъ на томъ, чтобы ни заимодавецъ, ни должникъ не терпѣли убытка. Примѣръ можно взять такой: я обязанъ уплатить 1000 рубл. черезъ 2 года по 5%, 2500 р. черезъ 3 г. по 4% и 3000 р. черезъ 1 годъ по 6%. Когда въ одинъ общій срокъ я могу отдать эти деньги сразу? Уже въ XVI столѣтіи итальянскими учеными было иредложено два совершенно вѣрныхъ пути для рѣшенія подобныхъ вопросовъ. Лука де-Бурго разсуждаетъ слѣдующимъ образомъ. Положимъ, что должникъ платитъ всѣ деньги въ первый срокъ; тогда онъ платитъ напрасно процентныя деньги съ остальныхъ капиталовъ, которымъ срокъ еще не настуішлъ, а именно платитъ за время между 1-мъ срокомъ и осталышми; высчитаемъ эту лишнюю сумму процентныхъ денегъ, высчитаемъ также, въ какое время эту сумму принесутъ всѣ капиталы, тогда мы и получимъ средній срокъ. Тарталья и Видманнъ пользуются нѣсколько инымъ пріемомъ, который, сравнительно съ пріемомъ Бурго, нѣсколько сокращеннѣе, именно тѣмъ, что вмѣсто прибыли вводятся произведенія капиталовъ на число дней или лѣтъ. Это и есть тотъ самый нормальный пріемъ, какой употребляется въ настоящее время.

Наконецъ, правило процентовъ, отчасти съ вексельными операціями, примѣняется къ такъ наз. переводу платежей. Обороты по переводу платежей вошли въ обыкновеніе давно, одновременно съ изобрѣтеніемъ денегь. Такъ какъ купцамъ различныхъ націй, ведшимъ между собою торговлю, необходимо было однѣ монеты переводить въ другія, то для этого имѣлись мѣняльныя конторы; ихъ всегда можно было встрѣтить на рынкахъ большихъ городовъ. Что касается письменныхъ переводовъ, то они первоначально были введены евреями. Изгнанные въ VII ст. изъ Франціи, евреи перешли въ Ломбардію и внесли туда обыкновеніе пользоваться переводами, а итальянцы очень охотно приняли этотъ порядокъ. Затѣмъ Гибеллины, когда ихъ лишили Ломбардіи, перенесли съ собою новый порядокъ въ Амстердамъ, а оттуда онъ распространился уже по всей Европѣ. Около 1315 г. Іоаннъ, герцогъ Лотарингскій, далъ Ганзейцамъ привиллегію на производство въ Брабантѣ денежныхъ переводовъ. Въ 1445 г. мы видимъ переводы въ Нюренбергѣ. Денежные письменные переводы доставляди большое удобство и выгоду, такъ какъ они избавляли отъ лишнихъ трудовъ и издержекъ, и, кромѣ того, при нихъ было меньше риска, что деньги потеряются, къ тому же надо замѣтить, что нерѣдко бывали случаи, когда въ иныхъ государствахъ запрещалось вывозить туземную монету за-границу, подъ страхомъ конфискаціи. Всѣ операціи по переводу находились въ средніе вѣка въ начальной стадіи своего развитія; онѣ ограничивались вычисленіемъ суммъ по курсу, коммиссіонныхъ же процентовъ не упоминается, такъ что обыкновеніе отчислять процентъ за переводъ принаддежитъ новѣйшему времени.

Начало цѣпного правила можно прослѣдить у индусовъ, именно, оно содержится въ ариѳметикѣ индуса Брамегуиты, относящейся къ VII ст. по Р. X. Въ Германіи оно встрѣчается раньше всѣхъ у Адама Ризе (въ XVI ст.); распространенію его особенно способствовалъ голландецъ Ванъ-Реесъ (1740 г.), по его имени и правило часто на-зывается правиломъ Рееса, другія его названія — Kettenregel на нѣмецкомъ языкѣ и Règle conjonte на французскомъ.

Прямой цѣлью, для которой и придумано цѣпное правило, является переводъ мѣръ одной системы въ мѣры другой, при посредствѣ мѣръ еще какой-нибудь третьей системы. Возьмемъ такую задачу:

сколько флориновъ стоятъ 8 центнеровъ, если въ центнерѣ 100 фунтовъ, въ фунтѣ 32 лота, каждые 6 лотовъ стоятъ 42 крейцера, 60 крейцеровъ стоятъ одинъ флоринъ?

Конечно, эту задачу можно рѣшить простыми дѣленіями и умноженіями, можно ее рѣшить черезъ пропорціи, но изобрѣтатели цѣпного правила не довольствовались этимъ и хотѣли дать такой пріемъ, по которому человѣкъ могъ бы работать, какъ машина, почти не разсуждая и не давая себѣ отчета. По цѣпному правилу задача пишется такъ:

X флор.—8 центн.

1 центн.—100 фун.

1 фун.—32 лота.

6 лот.—42 крейц.

60 крейц—1 флоринъ.

Затѣмъ пишется прямо формула отвѣта, а для этого достаточно перемножить числа праваго ряда и сдѣлать это числителемъ и произведеніе лѣвыхъ чиселъ сдѣлать знаменателемъ, будетъ тогда

Въ XIII в. и позже въ Италіи условія подобныхъ задачъ располагались иначе, именно не двумя вертикальными столбцами, а двумя горизонтальными строками; получается такое расположеніе:

42 кр. 6 лот. 100 ф. 1 центн.

1 фл. 60 кр. 32 лот. 1 ф. 8 центр.

Затѣмъ проводилась ломанная линія между множителями числителя той дроби, которая должиа выражать отвѣтъ, и такая же линія между множителями знаменателя: слѣдов. долженъ получиться чертежъ:

Онъ представляетъ подобіе цѣпи, и благодаря ему самое правило названо цѣпнымъ.

Совершенно справедливо замѣчаютъ противники Ванъ-Рееса, что цѣпное правило не только не полезно для начальнаго обученія, но даже вредно. Оно, подобно многимъ другимъ правиламъ, стремится внести механичность и уничтожить свободное сужденіе при выборѣ способа; оно пригодно, пожалуй, для людей, которымъ часто надо переводить мѣры изъ одной системы въ другую, но оно неумѣстно для общеобразовательной школы, такъ какъ вноситъ спеціальный техническій элементъ.

Странное названіе, чуждое нашимъ учебникамъ! Что же это за правило?

До XIX столѣтія оно обязательно было во всѣхъ ариѳметикахъ. Какъ показываетъ самое заглавіе, итальянская практика обязана своей разработкой итальянцамъ (главнымъ образомъ Тартальѣ), и ка-сается она пріемовъ, вызванныхъ практикой и приложимыхъ на практикѣ. Происхожденіе ея слѣдующее. Въ то время, какъ средневѣковая ариѳметика старалась изъ всѣхъ силъ напичкать ученика всевозможными готовыми правилами, по которымъ, какъ по шаблону, можно было рѣшать любой вопросъ, не затрудняя себя придумываніемъ способовъ, въ это время, въ противовѣсъ такому направленію, природная человѣческая смѣтливость, естественная пытливость и ничѣмъ неуничтожаемая потребность думать — искали себѣ выхода, находили его въ изобрѣтеніи оригинальныхъ пріемовъ, которые болѣе соотвѣтствовали характеру каждаго вопроса, облегчали и упрощали его. Такимъ образомъ, итальянская практика — это собраніе искусственныхъ пріемовъ, отчасти письменныхъ, иногда устныхъ, нерѣдко простонародныхъ, которые здравымъ человѣческимъ разсудкомъ противопоставляются заученнымъ формуламъ сухой науки. Склонность къ такимъ пріемамъ живетъ во всякомъ народѣ, и итальянцы нѣсколько опередили остальныхъ только потому, что ихъ роль коммерсантовъ и посредниковъ скорѣе дала выходъ природнымъ задаткамъ.

Тарталья различаетъ простую итальянскую практику и искусственную. Простой практикой рѣшаются вопросы не особенно сложные, которые относятся главн. обр. къ простому тройному правилу. Первый примѣръ: 8 килограммовъ саго стоятъ 3,80 марокъ., что стоятъ 12 килограммовъ саго? Для рѣшенія мы сперва высчитаемъ стоимость 4 килограммовъ, а для этого достаточно 3,80 марокъ раздѣлить пополамъ, потому что 4 килограмма составляютъ половину 8, и слѣд., цѣна ихъ составляетъ половину 3,80 марокъ, затѣмъ складываеиъ стоимость 8-ми килогр. и 4-хъ и получаемъ искомую цѣну 12-ти:

Приведемъ еще примѣръ, въ которомъ удобнѣе не складывать, а вычитать: 15 арш. матеріи стоятъ 16,80 рублей, что стоятъ 10 аршинъ матеріи?

Искусственная итальянская практика состоитъ въ слѣдующемъ. Если въ задачѣ встрѣчается какой-нибудь сложный множитель, то разбиваютъ его на слагаемыя и эти слагаемыя подбираютъ такъ, чтобы самое большое являлось кратнымъ остальныхъ, или вообще одно слагаемое содержало въ себѣ другое; когда намъ удалось такъ разложить, то мы умножимъ данное число на большее слагаемое, а всѣ остальныя произведенія получимъ дѣленіемъ и именно воспользуемся свойствомъ, что во сколько разъ меныне множитель, во столь-ко же разъ меныпе и произведеніе. Примѣръ: сколько прибыли получится съ 9000 руб. по 4% за 1 годъ 2 м. 24 д? Въ этомъ случаѣ вычисляемъ сперва прибыль за 1 годъ, потомъ за 1/6 года, т.-е. за 2 мѣсяца, для этого дѣлимъ годовую прибыль на 6, потомъ вычисляемъ за 20 дней — они составляютъ ⅓ двухъ мѣсяцевъ, потомъ за 4 дня, т.-е. за 1/5 двадцати дней; въ концѣ всѣ полученныя прибыли складываемъ. Тарталья даетъ подобнымъ задачамъ такое расположеніе: