Там, где нам реально понадобятся "математические" аргументы, я постараюсь обойтись простейшими графиками и диаграммами. Кроме того, нам иногда будут нужны простые вычисления и очень немного элементарной алгебры, которая - как бы недружелюбно мы ни относились к математикам - является в конце концов простой, мощной и удобной манерой мышления. Даже если вы родились или думаете, что родились с неприязнью к алгебре, пожалуйста, не пугайтесь ее. Но если вам все же придется пропустить те немудреные математические формулы, которых я не смог избежать, вы все равно проследите за моей аргументацией.
И еще одно замечание. Конструкции сделаны из определенных материалов, поэтому мы будем говорить как о конструкциях, так и о материалах, однако в действительности между теми и другими нет четко разграниченной линии. Сталь несомненно материал, а мост через реку Форт несомненно конструкция, но вот армированный бетон, дерево, живые ткани имеют довольно сложное строение, а потому их можно рассматривать и как материалы, и как конструкции. Слово "материал" в этой книге употребляется во вполне определенном смысле. Я счел нужным отметить это, вспомнив беседу с другой дамой на другом коктейле.
- Чем вы занимаетесь?
- Я - профессор материаловедения.
- Как, должно быть, занятно иметь дело со всеми этими веселенькими тканями!
Часть I. Трудное рождение теории упругости
Почему конструкции выдерживают нагрузки, или упругость твердых тел
Давайте начнем с самого начала, с Ньютона, который сформулировал основной закон механики: действие равно противодействию по величине и противоположно ему по направлению. Это означает, что каждая сила должна быть сбалансирована точно такой же по величине силой противоположного направления. При этом природа сил не имеет никакого значения. Например, сила может быть создана каким-либо неподвижным грузом. Предположим, я стою на полу, мой вес 75 кг. Следовательно, мои подошвы давят на пол с силой 75 кг, которая направлена вниз; это дело моих ступней. В то же самое время пол должен давить на мои подошвы с той же силой 75 кг, направленной вверх; эта сила исходит от пола. Если доски пола окажутся подгнившими и не смогут обеспечить силу 75 кг, я неминуемо провалюсь. Но если каким-то чудом пол сообщит мне силу, большую, чем та, которую требовал мой вес, скажем 75,5 кг, то я - ни много ни мало - взлечу.
Почему мы не проваливаемся сквозь пол Джеймс Гордон
Мы могли бы начать с вопроса: как получается, что любое неодушевленное твердое тело - из стали, камня, дерева или пластмассы - вообще способно оказывать сопротивление механической силе или хотя бы выдерживать свой собственный вес. Это, в сущности, задача о том, "почему мы не проваливаемся сквозь пол", и ответ на нее вовсе не очевиден. Он лежит в основе целой науки о конструкциях, и здесь есть над чем подумать. Так или иначе, но эта проблема оказалась слишком трудной для Галилея, и честь первым ее понять принадлежит столь придирчивому человеку, как Роберт Гук (1635-1702).
В первую очередь Гук понял, что в тех случаях, когда материал или конструкция оказывает сопротивление действию нагрузки, это возможно только за счет их ответного действия на тело, создающее эту нагрузку, с силой, равной по величине и противоположной по направлению. Если ваши ноги давят на пол вниз, то пол должен давить на ваши ноги вверх. Если кафедральный собор давит вниз на свое основание, то основание должно давить вверх на собор. Это подразумевается в третьем законе Ньютона, который, напомним, гласит, что действие и противодействие равны по величине и противоположны по направлению.
Другими словами, сила не может исчезнуть просто так. Всегда и во всех случаях каждая сила должна быть уравновешена другой силой, равной ей по величине и противоположной по направлению, в каждой точке конструкции. Это справедливо для любых конструкций независимо от того, малы ли они и просты или велики и сложны. Это справедливо не только для полов и соборов, но и для мостов и самолетов, воздушных шаров и мебели, львов и тигров, капусты и земляных червей. Если это условие нарушено, то есть если где-то нарушено статическое равновесие, то либо конструкция развалится, либо она должна взлететь подобно ракете и исчезнуть из поля зрения. (Нередко последнее скрыто следует из ответов будущих инженеров на экзаменах.)
Представим на минуту простейшую из возможных конструкций. Предположим, что мы подвешиваем с помощью веревки груз, например обыкновенный кирпич, к опоре, которой может быть ветка дерева (рис. 1). Вес кирпича, как и вес ньютоновского яблока, обусловлен воздействием гравитационного поля Земли на его массу, и сила веса всегда направлена вниз. Кирпичу не суждено упасть, если его удерживает в воздухе постоянно действующая сила, равная по величине его весу и направленная вверх - в данном случае натяжение веревки. Если веревка слишком слаба и не может создать направленную вверх силу, равную весу кирпича, то она неминуемо оборвется и кирпич упадет на Землю, как упало ньютоновское яблоко.
Рис. 1. Направленная вниз сила веса кирпича должна быть уравновешена равной по величине и противоположной по направлению силой натяжения веревки
Но если веревка достаточно крепкая и на нее можно подвесить не один, а два кирпича, то она должна создать вдвое большую силу вверх, которой будет достаточно, чтобы удержать оба кирпича. То же самое справедливо и для любых других изменений нагрузки. Кроме того, нагрузка - это не всегда обязательно "мертвый" вес, подобный нашему кирпичу; всякой силе, например напору ветра, должно быть оказано такое же противодействие.
Если кирпич подвешен к ветке дерева, то груз удерживается за счет растяжения веревки, другими словами, за счет натяжения. Во многих конструкциях, таких, как здания, нагрузка выдерживается за счет сжатия, давления. И в том и в другом случае общий принцип не меняется. Таким образом, всякая конструкция, предназначенная для выполнения определенных функций, то есть должным образом выдерживать нагрузку, чтобы не происходило ничего непредвиденного, должна суметь каким-либо образом создать давление или натяжение, в точности равное по величине и противоположное по направлению приложенной к ней силе. Иначе говоря, конструкция должна оказывать сопротивление всем возможным внешним натяжениям и давлениям посредством ответных растяжений и сжатий нужной величины.
Все это очень хорошо, и не составляет особого труда понять, почему нагрузка сжимает или растягивает конструкцию. Но гораздо сложнее представить себе, как конструкция должна в ответ давить на тело, создающее нагрузку (или растягивать его). Случается, об этой проблеме подозревают совсем маленькие дети.
— Да не тяни же кошку за хвост!
— Я не тяну, мама, тянет Пусси.
В случае с кошкиным хвостом противодействие создано биологическими процессами в мышцах кошки, развивающих усилие, противоположное усилию, которое создают мышцы ребенка, но этот вид активного мышечного противодействия не является, конечно, ни очень распространенным, ни необходимым.
Если бы кошкин хвост оказался закрепленным на чем-то неживом, например был привязан к стене, то "тянуть" должна была бы стена; создает ли сопротивление тянущему ребенку кошка (активно) или стена (пассивно), безразлично как для ребенка, так и для хвоста (рис. 2).
Но как неживой, пассивный предмет, такой, как стена или веревка, кость, стальная балка или собор, может создавать необходимые силы противодействия?
Рис. 2. а. - Да не тяни же кошку за хвост! - Я не тяну, мама, тянет Пусси.
Рис. 2. б. Пусси ли тянет или нет, значения не имеет.
Закон Гука, или упругость твердых тел
Сила любого упругого тела находится в постоянном отношении с удлинением, поэтому если одна сила растягивает или изгибает его на определенную величину, то две силы будут изгибать его на две такие величины, три - на три и так далее. И это есть Правило, или Закон, Природы, в соответствии с которым и происходят все виды Восстанавливающего, или Упругого, движения.
Роберт Гук
Уже в 1676 г. Гук ясно понимал не только то, что сопротивление твердых тел силам веса или другим механическим нагрузкам создается посредством сил противодействия, но и то, что, во-первых, под механическим воздействием всякое твердое тело меняет свою форму, растягиваясь или сжимаясь, а во-вторых, именно это изменение формы и позволяет твердому телу создавать силу противодействия.
