Ознакомительная версия.
И здесь также сущность дела затуманена античными названиями, которые мы удержали из литературного наследия греков. Геометрией называется искусство измерения, арифметикой – искусство счета. Математике Запада нечего больше делать с этими обоими видами ограничения, но она не придумала себе нового названия. Слово «анализ» выражает далеко не все.
Свои исследования античный математик и начинает и кончает единичным телом и ограничивающей его поверхностью. Мы знаем, в сущности, только абстрактный пространственный элемент точки; лишенный наглядности, возможности измерения и наименования, он представляет собою, собственно, только центр отношения. Прямая для грека есть измеримая граница, для нас – неограниченный точечный континуум. Лейбниц приводит в качестве примера для принципа бесконечно малых прямую, которую можно рассматривать как предельный случай круга с бесконечно большим радиусом; точка же оказывается опять-таки предельным случаем. Для духа античного человека квадратура круга была классической предельной проблемой. Вот что казалось греческому духу самой глубокой тайной мировой формы: превратить криволинейно ограниченные плоскости в прямоугольные и, не меняя их величины, сделать их таким образом измеримыми. Для нас стало очень простым делом – изобразить число л алгебраическими средствами, не поднимая при этом и речи о геометрических образах.
Античный математик знает только то, что он видит я осязает. Где кончается ограниченная, ограничивающая видимость – сфера его полета мысли, – там находит конец и его наука. Западноевропейский математик, как только он, освобожденный от античных предрассудков, становится самим собой, углубляется в совершенно абстрактную область бесконечного числового множества, не трех, а n измерений, внутри которого его так называемая геометрия может и часто должна обойтись без всякой помощи наглядного. Если античный человек обращается к художественному выражению своего чувства формы, то он стремится придать человеческому телу в танце и состязании, в мраморе и бронзе такое положение, в котором плоскости и контуры имели бы максимум соразмерности и выразительности. Настоящий художник Запада закрывает глаза и теряется в области бестелесной музыки, где гармония и полифония ведут к творениям величайшей «потусторонности», выходящим за пределы всех возможностей оптической определенности. Стоит только представить себе, что понимают под фигурой афинский скульптор и северный контрапунктист, и тогда станет совершенно ясной противоположность этих двух миров, двух математик. Греческая математика пользуется словом «sфma» для обозначения тела. С другой стороны, правовой язык применяет то же слово к личности в противоположность вещи («sцmata cai pragmata»; personae et res).
Феномен античного, целого, телесного числа невольно поэтому ищет отношения к телесному началу человека, к «sфma». Единица едва ли принималась как настоящее число. Она – «архе», изначальная основа числового ряда, изначало всех чисел и, следовательно, всех величин, всех мер, всякой вещественности. Ее числовой знак в кругу пифагорейцев всегда был символом материнского лона, изначала всей жизни. Двойка, первое настоящее число, которое удваивает единицу, была связана с принципом мужского начала, и ее знаком стало изображение фаллоса. Наконец, священная троица символизировала акт соединения мужчины и женщины, зачатия – и вполне понятен эротический смысл двух особенно важных для античности процессов – роста величины и порождения величины, сложения и умножения; знаком тройки было соединение двух первых чисел. Отсюда проливается новый свет на упомянутый выше миф о дерзости раскрытия иррационального. Иррациональное, выражаемое нами применением бесконечных десятичных дробей, есть разрушение органически-телесного, созидательного порядка, который был установлен богами. Нет сомнения, что пифагорейская реформа античной религии восстановила древний культ Деметры. Деметра родственна Гее, матери-земле. Есть глубокая зависимость между ее почитанием и этим возвышенным пониманием числа.
Так античный мир с внутренней необходимостью стал постепенно культурой малого. Аполлоновская душа стремилась заклясть смысл завершенного посредством принципа обозримой границы; ее «табу» направлено на непосредственную наличность и близость чуждого. Что давно прошло, что невидимо, того и нет. Грек, как и римлянин, приносил жертвы богам той страны, где ему случалось быть, – все другие исчезали из его кругозора. Как греческий язык не имеет названия для пространства – мы будем постоянно подчеркивать мощную символику таких явлений языка, – так нет у грека нашего чувства ландшафта, чувства горизонта, далей, облаков, а также понятия отечества, широко раскинувшегося и охватывающего великую нацию. Отчизна для античного человека – это то, что он мог окинуть взором со стен родного города, не больше. Что лежало по ту сторону видимой границы такого политического атома, было чуждо, даже враждебно. Здесь начинается уже страх античного существования, и это объясняет чудовищную ожесточенность, с какой эти крошечные города уничтожали друг друга. Полис – это самое маленькое из всех мыслимых государств, и его политика, ясно выраженная политика «близкого», – полная противоположность нашей дипломатии кабинетов, политике безграничного. Античный храм, если охватить его единым взором, – самое маленькое из всех классических строений. Геометрия от Архита до Эвклида – как это делает под их влиянием школьная геометрия еще и теперь – занимается маленькими, удобными для обращения фигурами и телами, и для нее, таким образом, были скрыты трудности, которые всплывают при оперировании астрономическими расстояниями, не всегда допускающими пользование Эвклидовой геометрией. Но вместе с тем тонкий античный дух как будто тогда уже предугадывал проблему неэвклидовых геометрий: возражения против известной аксиомы о параллельных, содержание которой с давних пор не удовлетворяло геометров, близко наталкивали на возможное решение вопроса. Наложения элементарного счисления, например 2 x 2 = 4, казалось само собою разумеющимся, – настолько же нам само собою разумеющимся кажется оперирование бесконечным, выходящим за пределы наглядности. Все математические взгляды, которые Западная Европа отвергала или принимала, с глубокой необходимостью подчинялись языку форм счисления бесконечно малых задолго до того, как было открыто само дифференциальное счисление. Арабская алгебра, индийская тригонометрия, античная механика были сразу включены в анализ. Положения элементарного счисления, например 2 x 2 = 4, – казалось бы, самые «очевидные» – с аналитической точки зрения оказываются проблемами, решение которых при помощи выводов из теории множеств в отдельных своих частях вообще еще не удалось; Платону и его времени все это показалось бы явным сумасбродством и служило бы доказательством полного отсутствия математической одаренности.
Можно, конечно, трактовать геометрию алгебраически или алгебру геометрически; это значит или устранить то, что дается глазу, или дать ему господствовать. Первое делаем мы, второе – греки. Архимед, который в своем прекрасном исследовании спирали затрагивает известные общие факты, лежащие в основе также и метода определенного интеграла у Лейбница, сейчас же подчиняет стереометрическому принципу свой на первый взгляд вполне модернистический метод. Индиец, само собою разумеется, дал бы в этом случае тригонометрическую формулировку. (Теперь нельзя уже установить, что именно в известной нам индийской математике возникло в древнеиндийский период, то есть до Будды.)
13.
Из основного противоположения античного и западноевропейского числа вытекает столь же глубоко идущее противоположение того отношения, в котором стоят друг к другу элементы каждого из этих комплексов. Соотношение величин называется пропорцией, соотношение же отношений определяет сущность функции. Оба слова, выходя за пределы математики, имеют очень большое значение для техники соответствующих искусств – пластики и музыки. Если совершенно отвлечься от того смысла, который имеет слово «пропорция» для соразмерности частей отдельной статуи, то только типичные античные произведения искусства – статуи, рельефы, фрески – допускают увеличение и уменьшение масштаба – слова, которые для музыки, искусства безграничного, не имеют никакого смысла. Вспомните об искусстве гемм, задача которого сводилась к простому уменьшению статуй натуральной величины. В пределах же теории функций понятие трансформации групп, напротив того, имеет решающее значение, и музыкант подтвердит, что аналогичные образования составляют существенную часть нового учения о композиции. Я напомню только об одной тончайшей инструментальной форме XVIII столетия – «теме с вариациями».
Ознакомительная версия.
