Это конечно же первая космическая скорость, то есть скорость, с которой нужно бросить шар, чтобы он стал искусственным спутником Земли. Впервые это удалось сделать в России в 1957 году, а в Италии семнадцатого века слов таких не знали и величину скорости назвали бы астрономической. Она была скорее астрофизической. Но астрофизику Галилею мысленный шар, летящий на постоянном расстоянии от поверхности Земли, конечно, напомнил бы Луну.
Он бы легко убедился, однако, что для Луны полученное соотношение, увы, не выполняется, и очень сильно. Скорость Луны в 60 раз меньше, «чем надо». Поскольку скорость Луны и расстояние до нее были хорошо известны, Галилей подумал бы об ускорении свободного падения g, которое сам измерил. Но измерил-то на поверхности Земли, а не на высоте Луны. Соотношение выполнилось бы, если ускорение свободного падения на высоте Луны в 3600 раз меньше земного. Расстояние до Луны в 60 раз больше радиуса Земли. Напрашивается гипотеза: ускорение свободного падения меняется с удалением от Земли обратно пропорционально квадрату расстояния. Эту гипотезу Галилей мог подтвердить и на спутниках Юпитера, и на спутниках Солнца — планетах. В результате он получил бы новый закон природы — общий закон свободного падения, определяющий ускорение свободного падения g(R) в точке, удаленной на расстояние R от небесного тела массы M
g(R) = GM/R2,
здесь G — константа, одинаковая для любого небесного тела, а значит, константа фундаментальная.
Как Галилей мог открыть общий закон свободного падения
Исследуя свободное падение, Галилей выяснил, что шар, брошенный горизонтально в пустоте, падает по параболе, форма которой определяется начальной скоростью V и ускорением свободного падения g: при этом скорость движения по горизонтали сохраняется Vг = V, а по вертикали растет со временем Vв = gt.
Сделаем мысленный эксперимент, поднявшись вместе с мысленным Галилеем на легендарную башню. Будем бросать шары горизонтально со все большей скоростью. Если скорость броска мала, шар упадет — по крутой параболе — на землю поблизости от башни. А если скорость очень велика, парабола станет очень пологой, и шар улетит очень далеко от Земли.
Спрашивается, с какой скоростью надо бросить шар, чтобы, свободно падая, он оставался на той же высоте от земной поверхности, уходящей закругленно «вниз»?
На этот вопрос ныне может ответить и школьник, нарисовав указанную схему, применив теорему Пифагора и учтя, что радиус Земли R ≈ 6000 км, а ускорение свободного падения g ≈ 10 м/сек2. Эти величины, как и теорему Пифагора, знал также и Галилей. И мог получить, что искомая скорость связана с g и R соотношением
V2= gR
и равна примерно 8 км/сек. Летя с такой скоростью, шар оставался бы на постоянном удалении от земной поверхности. Совсем как Луна.
Однако Галилей легко обнаружил бы, что лунные величины Rл ≈ 400 000 км и Vл ≈ 1 км/сек никак не укладываются в полученное соотношение. А чтобы уложились, нужно значение gл, примерно в 3600 раз меньшее измеренного Галилеем на поверхности Земли. Расстояние до Луны больше радиуса Земли примерно в 60 раз, а 60 60 = 3600. Отсюда Галилей мог предположить, что ускорение свободного падения g меняется с удалением от Земли обратно пропорционально квадрату расстояния R:
g ~ 1/ R 2.
Отсюда, с учетом предыдущего соотношения, следует, что скорость спутника меняется с расстоянием R от небесного тела:
V ~ 1/ R 1/2.
А если небесное тело имеет несколько спутников, то для них всех величина VR 1/2 одна и та же.
Подтвердить это свойство Галилей мог на им же открытых спутниках Юпитера:
Подтвердили бы это и спутники Солнца, то есть планеты (орбиты которых близки к круговым).
Так закон свободного падения, установленный в земных физических опытах, поднялся бы до астрономических высот. И так Галилей пришел бы к новому закону природы, который мог назвать общим законом свободного падения: ускорение свободного падения на расстоянии R от центра небесного тела
g(R) = A/R 2,
где А — некая константа, определяемая свойствами небесного тела.
Из наблюдательных данных Галилей мог вычислить соотношения таких констант для Земли, Юпитера и Солнца:
AЮпитера ≈ 300 AЗемли,
AСолнца ≈ 300 000 AЗемли.
Глядя на эти три величины, характеризующие Землю, Юпитер и Солнце, естественно было спросить, какие различия небесных тел ведут к различиям их констант A. Из явных различий в размере, в количестве вещества (массе) и в состоянии светимости легче всего предположить, что величина A пропорциональна массе небесного тела M: A = GM с неким коэффициентом G (который тоже можно грубо оценить, считая среднюю плотность Земли близкой к плотности ее твердых пород).
В результате Галилей получил бы общую зависимость сразу для всех трех небесных тех — Земли, Юпитера и Солнца:
g (R) = GM/R 2,
и здесь константа G — не простая, а фундаментальная, поскольку одинакова для Земли, Юпитера и Солнца и, судя по этому, для любого другого тела.
Это и есть общий закон свободного падения, открыть который вполне мог Галилей на его уровне знаний и умений.
Новый закон уже намекает на гравитацию Ньютона, до которой оставалось более полувека. Но для Галилея всего важнее было бы оправдание его веры в физическое единство мира — и мира подлунного, и мира надлунного. Он понял бы, что причина падения тел на Земле и причина, определяющая орбиты планет, — одна и та же. А поскольку причину падения естественно называть притяжением (к Земле), то так можно назвать и планетную силу. Мысленный спутник Земли помог бы Галилею увидеть, что свободное падение и движение планет — явления глубоко родственные.
Так он понял бы, что слова Кеплера о планетно-солнечных притяжениях не столь и ребяческие. Никакой солнечной силы, движущей планетами, конечно, нет, но притяжение есть и подчиняется вполне определенному закону. Более того, из этого закона следует и (третий) закон Кеплера, связывающий время, за которое планета проходит свою орбиту, с ее радиусом (T2 ~ R3). Значит, из закона свободного падения, установленного в земных физических опытах, следует астрономический закон, полученный Кеплером в результате многолетнего анализа множества астрономических наблюдений. Следует пока лишь для круговых орбит. Но если ускорение свободного падения известно в каждой точке пространства вокруг большого небесного тела, то можно и ставить задачу о том, как изменится круговая орбита спутника, если его толкнуть. Труднее, конечно, было заподозрить и тем более доказать, что при этом окружность превратится в эллипс. Но зато теперь Галилей мог уже принять подсказку первого закона Кеплера — об эллиптичности планетных орбит, к великой радости автора и к успокоению историков, ломающих головы над молчанием Галилея по поводу законов Кеплера.
Имея в своем распоряжении мысленный спутник, Галилей вряд ли бы остановился на достигнутом, а понял бы также, что законы Кеплера… лишь приближенные. Запуская мысленный спутник на разных расстояниях от Земли, легко дойти до места посередине между Землей и Марсом. А тогда возникнет вопрос: мы запускаем спутник Земли или Марса? Владея понятием составного движения, Галилей «сложил» бы оба ускорения свободного падения с учетом разных направлений (нынешними словами — векторно) и получил бы суммарное движение, совсем не похожее на эллипс. Отсюда следовало бы, что законы Кеплера — приближенные, они тем точнее, чем дальше находятся все массивные тела от одного, «центрального». И возникла бы общая задача о движении «спутника» вблизи нескольких массивных тел. Все это вело к представлению о всеобщем — «всемирном» — притяжении. Но оно уже было бы основано не на словах полуастрологического происхождения, как у Кеплера, а на физическом исследовании свободного падения вблизи поверхности Земли.
