Ознакомительная версия.
Любой фрактал может быть представлен как визуализация некоторого алгоритма, набора математических процедур, имеющих характер последовательных итераций (многократных повторений заданных операций). Фрактальные итерации – рекурсивны, т. е. каждый результат предыдущего шага служит начальным значением для нового цикла самовоспроизводства фрактальной структуры (узора, конструкции, идеи).
Таким образом, общим для всех фракталов является наличие рекурсивной процедуры их генерации и (бес)конечной цепочки автопоэзиса (самопостроения)[29]. В строгом математическом понимании фрактал бесконечен, поэтому фрактальная структура n-ного порядка называется предфракталом. При этом с помощью относительно несложных математических формул «можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии»[30]. Математические фракталы бесконечны, как и культурные фракталы, относящиеся к культурогенезу и культурной трансмиссии, однако фрактальные артефакты культуры (например, здания, матрешки или образы на рекламных объявлениях) имеют ограниченную «глубину» фрактальности, иногда не более двух итерационных уровней.
Фрактальное самоподобие:
Японская пагода
Дельта реки Лена
Самоподобие и рекурсивность фрактала сделали возможным появление нематематических концепций фрактальности. Фрактал оказался наглядной и операбельной визуализацией идеи бесконечного становления, незавершенности, процессуальности и имманентно «запрограммированной» динамики всех социокультурных феноменов. Фрактал, действительно, «не есть конечная форма (фрактал никто никогда не видел, так же как число π), а есть закон построения этой формы», «ген формообразования»[31], как называет его российский математик и философ А. В. Волошинов. Главным содержанием фрактала как парадигмального концепта является бесконечное развертывание на каждом новом уровне погружения в упорядоченную или «хаотическую» структуру все тех же смыслов, заданных в «начале начал», – при неизменном фундаментальном подобии частей целому.
Еще одно важное качество фракталов – это удивительная красочность и потрясающая зрелищность их визуализаций, демонстрирующих то барочную складчатость, то сложную геометрию хайтека. Многочисленные творческие опыты художников-программистов с фрактальными алгоритмами привели к возникновению в конце XX века целого художественного направления, называемого фрактальной живописью или фрактальным искусством.
Становится очевидным, что фракталы – эти «монстры» и «чудовища», как окрестили их математики на заре XX века, «оказываются в состоянии послужить центральными концептуальными инструментами для нахождения ответов на некоторые с давних пор не дающие человеку покоя вопросы, связанные с формой мира, в котором он живет»[32] и, добавим, который он творит.
Цифровое фрактальное искусство
Типы фракталов в городской культуре
Существует несколько типов фрактального подобия[33]. Все классификации фракталов основаны на способе генерации фрактальных структур и учитывают степень подобия фрактальных частей целому.
Геометрические фракталы (иногда их называют линейными) – самые очевидные, в прямом смысле слова: их самоподобие визуально легко различимо. Таковы, например, треугольник Сер-пинского или снежинка Коха. Геометрические фракталы получают с помощью ломаной линии или двух-, трехмерной фигуры, называемой генератором. За один шаг алгоритма часть исходной линии/фигуры (инициатора) заменяется на линию/фигуру (генератор) в соответствующем масштабе. В результате многократного (в пределе – бесконечного) повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.
Наиболее яркие примеры фрактальной архитектуры геометрического типа – индонезийские храмовые комплексы Боробудур и Прамбанан, итальянский замок Castel del Monte, собор св. Петра в Ватикане.
Алгебраические, или нелинейные, фракталы образуются цифровым способом – визуализацией итерационного алгоритма расчета по формуле, содержащей комплексные числа; например, формула множества Жюлиа имеет вид: f(z) = z2 + c, где z и с – комплексные числа.
Архитектурные геометрические фракталы:
Храм Боробудур
Замок Castel del Monte
Конечный результат каждого цикла используется в качестве начального значения для расчета последующего, т. е. процесс повторения процедуры также является рекурсивным. Один из способов визуализации алгебраических фракталов состоит в том, что действительная часть каждого z0 изображается в виде точки в прямоугольной системе координат и окрашивается в определенный цвет в зависимости от номера итерации, на которой значение z может считаться бесконечным. Фрактальное подобие в получившихся визуализациях может быть не столь очевидным, но оно, несомненно, присутствует и выявляется визуально или аналитически.
Примером алгебраического фрактала служит знаменитое множество Мандельброта. Не являясь самоподобным в строгом геометрическом смысле, оно, тем не менее, при увеличении изображения демонстрирует внутри себя бесконечное число собственных крохотных копий.
Визуализация алгебраических фракталов лежит в основе цифровой фрактальной живописи. Такого рода фракталы наблюдаются во многих планах городской застройки Нового времени, в архитектуре «колодца» в дворцово-парковом комплексе Quinta da Regaleira (Синтра, Португалия), башни Aqua (Чикаго, США) и др. Фрактальность нелинейного типа используется в современной так называемой «органической» архитектуре (проекты Ф. Л. Райта, Ф. Гери, Заха Хадид и др.)[34], в прогнозировании поведения финансовых рынков[35] и, вероятно, может служить аналитическим инструментом при моделировании социокультурных процессов.
Нелинейные архитектурные фракталы:
«Колодец масонов» (Синтра, Португалия)
Музей Гуггенхайма (Нью-Йорк)
При этом самоподобие фрактальных паттернов может быть абсолютным (точное рекурсивное воспроизводство паттерна) или относительным (квазиподобие), когда маленькие элементы фрактала при увеличении масштаба рассмотрения не повторяют точно систему в целом, но в общем имеют похожий, хотя и несколько искаженный вид. При внесении в геометрический или алгебраический алгоритм периодических случайных вариаций получаются стохастические фракталы. В таких случаях имеет место приближенное сходство, которое достаточно хорошо ощутимо. Большинство природных фракталов являются стохастическими фракталами. Такие фракталы (например, Броуновское дерево) обладают статистическим подобием. Кроме того, существуют алеаторные фракталы, в которых искажения паттерна существенны и непредсказуемы из-за случайных внешних возмущений[36]. В городской культуре к ним принадлежат большинство городских кварталов, архитектура храма Святого семейства (арх. А. Гауди), музея Гуггенхайма в Бильбао, Центра науки и культуры короля Абдул Азиза в Саудовской Аравии (см. цветную вкладку) и др.
Стохастические фракталы:
Храм Святого Семейства (Барселона, Испания)
Центр науки и культуры короля Абдул Азиза (Саудовская Аравия)
Стохастическая фрактальность присутствует во многих произведениях «традиционных» искусств (литературе, кинематографе, живописи): так, фрактальный анализ даже применяется для определения подлинности живописных абстракций Дж. Поллока[37]. Стохастический характер демонстрируют большинство социокультурных процессов, в т. ч. культурная трансмиссия.
Наконец, особый тип фракталов представляют собой так называемые культурные фракталы, которые используются при анализе социокультурных феноменов и артефактов. Вот как определяет культурный фрактал Пол Даунтон (Paul Downton), австралийский ученый, специалист в области экологии архитектуры и биоурабнистического дизайна: «Культурный фрактал содержит конфигурации всех существенных характеристик его культуры»[38].
Российский математик и социальный философ С. Д. Хайтун предпочитает называть фрактальные структуры, выходящие в своем философском содержании за рамки геометрической фрактальности, непространственными фракталами. Ученый считает, что, в отличие от неорганических систем, демонстрирующих пространственную фрактальность, «для социального мира более характерны непространственные фракталы»[39]. В литературоведении для обозначения фракталов такого рода российско-австралийский филолог Т. Б. Бонч-Осмоловская, анализируя фрактальность художественных текстов, предлагает специальные термины – семантические и нарративные фракталы. Семантические фракталы, по ее мнению, присутствуют там, «где о подобии части бесконечному и вечному целому только рассказывается» и «демонстрирует[ся], что предметы, явления или люди бесконечно повторяются в цепи сходства-подобия»; тогда как самоподобие нарративных фракталов связано «не с умственными схемами, а с существующими или мнимыми визуальными произведениями»[40]. Очевидно, в такой интерпретации оба термина логически неоднозначны и даже противоречивы.
Ознакомительная версия.
