В изначальном смысле и согласно каноническому определению это ἄκρος καὶ μέσος λόγος – деление отрезка в крайнем и среднем отношении. В словесной формулировке целое относится к большей части как большая часть к меньшей, и речь здесь идет уже не только об отрезках, а о произвольных величинах, не обязательно геометрической природы. Впрочем, судя по некоторым источникам, золотое сечение понимается не только как некое геометрическое построение или определенная пропорция, а гораздо шире.
Помимо канонического отрезка и прямоугольника с соответствующим отношением сторон наиболее известной фигурой, двумерным символом золотого сечения вправе может считаться пентаграмма (пентальфа, пентагерон), обычно понимаемая как пятиугольная звезда, вписанная в правильный пятиугольник, которую понимают еще как ловушку для демонов и которая была символом многих тайных обществ. Весьма популярна и золотая логарифмическая спираль – с постоянным углом 73° между радиусом-вектором и касательной к кривой. Среди других узнаваемых золотых фигур укажем на прямоугольные и равнобедренные треугольники нескольких типов, эллипсы и ромбы, образуемые соединением золотых треугольников. Список трехмерных золотых тел всегда начинается со знаменитых еще со времен Платона, позже «Начал» Евклида додекаэдра и икосаэдра – двух из пяти платоновых тел, то есть многогранников, составленных из однотипных правильных многоугольников. Интересна и пространственная логарифмическая спираль, трехмерный аналог своего двумерного прототипа.
А теперь мы подходим к рассмотрению центрального элемента теории золотого сечения – константы φ (фи). Существует несколько взаимосвязанных и формально равноправных, но содержательно различных и эвристически неравнозначных определений этого числа. Не будем здесь углубляться в излишние подробности. В цифровом отношении это таинственное число выглядит следующим образом:
φ = 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203…
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому сечению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». В это время появилась книга монаха Луки Пачоли. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. К тому же он изобрел основу основ финансового бизнеса, двойную бухгалтерию, без которой немыслимо было процветание дома Медичи. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии. Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого сечения. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении.
Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. В конце XIX – начале XX в. появилось немало исключительно формалистических теорий о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т. д. Мы буквально окружены этой геометрико-цифровой закономерностью вплоть до размеров и форм наших кредитных карт, которыми мы расплачиваемся во всех уголках мира, включенных во всеобщую банковскую систему. Но именно о такой глобальной власти денег, денег дома Медичи, и мечтали финансисты эпохи Возрождения. А между тем золотое сечение берет свои корни еще в философии Пифагора, а затем и Платона, древнего мыслителя, в честь которого и была создана на вилле Кареджи знаменитая академия и так называемая платоновская семья. Еще мыслители древности и деятели Платоновской академии к своему несказанному удивлению открыли для себя, что все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя, имело отношение к золотому сечению и числу φ (фи). Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали. Спирали очень распространены в природе. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.
Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Спираль называли еще «кривой жизни». И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Даже галактики в космосе предстают перед нами в виде спирали.
И здесь мы опять упираемся в деятельность Платоновской академии, расположенной на вилле в Кареджи и основанной еще Козимо эль Веккьо. Теоретической основой финансового благополучия семьи являлась теория двойной бухгалтерии Луки Пачоли, правда, и до этого гения Медичи умели вести счет своим активам и имели при себе некую черную книгу, куда записывали все, что касалось их финансовой деятельности. Поговаривают даже, что знаменитый Пачоли был тривиальным плагиатором и присвоил себе чужое открытие. Об этом откровенно заявлял такой авторитет, как Вазари. Но, как бы там ни было, а теория двойной бухгалтерии навечно связана с именем Луки Пачоли, или Фра Луки из Богро, как его начали называть, когда он принял монашеский сан. Поначалу этот будущий монах даже и не собирался становиться известным математиком, а тем более изобретателем двойной бухгалтерии. Он собирался быть живописцем и проходил выучку в мастерской художника Пьеро делла Франческа. Но занятия живописью как-то не задались, и Лука увлекся математикой, благо тогда, в соответствии со всеобщим влиянием идей Платона, именно эту науку считали основной в области любого пластического искусства. Ведь это была эпоха безраздельной власти линейной перспективы, а линейная перспектива – это, прежде всего, явление геометрическое, а уж затем эстетическое. А я бы сказал, что через математику эта самая пресловутая перспектива очень сильно связана и с теорией финансов.
Вдохновляло Пачоли стремление показать универсальный характер математических знаний, математики как «всеобщей закономерности», которую можно применить ко всем вещам. Это убеждение фра Луки основывалось на философии Платона, его учении о математике как некоем опосредующем звене между миром идей и материей, а также на неоплатонизме Марсилио Фичино и Джованни Пико делла Мирандола, проникнутом пифагорейскими и каббалистическими представлениями о роли числа. Как мы видим, это обстоятельство необычайно связывало в духовном и идейном смысле создателя теории двойной бухгалтерии с так называемой платоновской семьей. Пачоли был хорошо знаком с математическими идеями Платона по его «Тимею». По примеру пифагорейцев Платон полагал, «что четыре или пять стихий состоят из правильных тел». Он представлял себе, что однородная, составляющая тело мира материя, сгущаясь известным образом в небольшие, невидимые тетраэдры, образует стихию огня, а в гексаэдры – стихию земли… Между этими крайними телами помещались затем в виде связующих звеньев икосаэдр и октаэдр, причем первый получил форму стихии воды, а второй форму стихии воздуха. Пятое из правильных тел, додекаэдр, представляло, по мнению пифагорейцев, эфир и символизировало у Платона упорядоченную форму мирового целого. Переход одной стихии в другую изображался в виде преобразования правильных тел друг в друга. Таким образом платоновская физика сливалась со стереометрией. И у Пачоли, разделявшего эти пифагорейски-платоновские представления, стереометрия оказывалась главным звеном его математических изысканий.
