Поскольку каждый класс симметрии подчиняется какой–либо одной сингонии, с помощью главных направлений определяется положение элементов симметрии в пространстве. Само собой разумеется, что существует и обратная связь, в соответствии с которой кристаллографическим осям отвечают определенные элементы симметрии. Примеры:
Класс симметрии Сингония Положение элементов симметрии 2/m Моноклинная
2||
b m_|_
b 2/m 2/m 2/m Ромбическая
2||
а 2||b
2||
с 4/m 2/m 2/m Тетрагональная
т _|_
a m_|_
b m_|_
с 4 || с 2 || а, b 2 || биссектрисам углов между осями
а m_|_
c т_|_
a, b m
_|_ биссектрисам углов между осями
а 6 Гексагональная 6||с 432 Кубическая 4||а, b
, с 3 || четырем пространственным диагоналям куба 2 || шести диагоналям граней куба
|| —параллельно
_|_ — перпендикулярно
Пример класса 6 показывает, что не в каждом классе симметрии все главные направления соответствующей сиигонии сопровождаются элементами симметрии.
Внешнюю огранку кристаллов составляют грани, ребра и углы, которые связаны между собой соотношением Эйлера: число граней+число углов=число ребер +2.
Подобно элементам симметрии следует привести также грани и ребра кристаллов в соответствие с кристаллографическими осями и тем самым с элементами симметрии.
Легко представить, что каждая грань, рассматриваемая в пространстве, заключенном в систему координатных осей, должна отсекать, пересекать одну, две или три оси. Различают ряд положений граней, представленных на рис. 6.
Ребра кристаллов также обозначаются тройным индексом: ось а и все параллельные ей ребра имеют индекс [100], ось b — [010] и ось с — [001].
Общий символ грани, пересекающей все три оси, — (hkl), ребра — [uvw]. Обратите внимание на различную форму скобок!
Необходимо упомянуть еще одну особенность. Если грань отсекает на оси а одну часть, на оси b — две части и располагается параллельно оси с, то ее индекс будет не (120), а (210). Для индицирования граней, согласно Миллеру, применяются обратные значения для длин отрезков по осям. Грань отсекает отрезки a, b и с в отношении 1: 2: оо. Обратные значения составляют 1/1: 1/2:1/оо, а приведенные к целым числам — (210).
Рис. 6. Рис. 7.
Для индицирования ребер, наоборот, используется прямое отношение отрезков. Благодаря применению обратных и прямых отрезков достигается одинаковое написание индексов для некоторых граней и нормалей к ним (рис. 7).
Для грани в общем положении принимается индекс (hkl), а для соответствующих ребер — [uvw]. Какие числа скрываются за этими буквенными обозначениями? Это малые числа (целые), часто 1 и 0, реже 2. Числа больше 2 почти не появляются в обозначениях индексов праней и ребер. Тот факт, что длины отрезков, отсекаемых гранями или ребрами на трех основных осях [Отрезки, отсекаемые гранью по кристаллографическим осям, в отечественной литературе принято называть параметрами этой грани. — Прим. перев.], относятся между собой как малые целые рациональные числа, носит название в кристаллографии закона рациональности отношений параметров. Необходимо подчеркнуть, что абсолютные значения величин, между которыми определяют отношения, не во всех случаях одинаковы. Для ромбической сингонии а=/=b=/=с. Это означает для грани (111) ромбического кристалла различные абсолютные значения отрезка, отсекаемого по каждой оси, но равное количество этих отрезков по а, Ь и с. Так что получается отношение 1а:1b:1с. По равенству или неравенству величин или длин отрезков по a, b и с определяют кристаллографические сингонии.
Прямое отношение а: b: с, упрощенно а: 1: с, обозначается как геометрическое осевое отношение. В кубической сингонии оно составляет, естественно, 1: 1: 1, в тетрагональной и гексагональной 1: 1: с, а начиная с ромбической и в сингониях с более низкой симметрией — а: 1: с. Осевое отношение является константой вещества. Если мы знаем это отношение и установили, что оно равно таковому известного минерала, тогда с полной уверенностью можно говорить об идентичности обои: минералов.
Рис. 8.
В заключение следует познакомить любителей минералов с методом, который позволяет во многих случаях более точно диагностировать минералы, но о котором, однако, в большинстве определителей минералов не упоминается. В описаниях минералов в данной книге наряду с сингонией приведены также класс симметрии и геометрическое осевое отношение, что облегчает возможность сравнения. Если минералы встречаются в искаженных формах, то сингония и тем более класс симметрии определяются лишь с трудом. Но искажение не затрагивает углов между кристаллографическими гранями. Углы между одинаковыми гранями кристалл–всегда одинаковы. Установлением этого закона постоянства углов Стеной в 1669 г. заложил основы кристалле графин. Углы между кристаллографическими гранями измеряются гониометром. Следует различать гранные углы и углы между нормалями к граням. Первые дополняют вторые до 180°. С помощью простого прикладного гониометра, который легко изготовить из транспортира и полоски картона, при аккуратной работе могут быть измерены углы с точностью до ±1°. Соответствующие грани минерала крепко зажимают между транспортиром и картонной линейкой (рис. 8) и считывают значение угла между нормалями и гранями. Необходимо учитывать, что последующие вычисления действительны только для углов между нормалями к граням.
Рис. 9.
Что вообще подлежит вычислению? Не что иное, как геометрический индекс минерала — его осевое отношение а: 1: с. Согласно закону рациональности отношений параметров, у кристалла следует ожидать наличия граней с малыми индексами. Углы между нормалями к граням (110) и (100) и (011) и (001) дают возможность очень просто вычислить осевое отношение. Поскольку отношение а: b: с может быть выражено как а: 1: с, его можно записать также в виде а/b и с/b, тем самым придав вычислению большую наглядность. В ромбическом кристалле, например в топазе, измерению подлежат следующие углы. Принимая во внимание только кристаллографические оси и линию их пересечения со следом граней (НО) и (011), мы получаем треугольники с углами ф и р (рис. 9). Отношение а/b задается тангенсом ф, а отношение с/b — тангенсом р (рис. 10).
Рис. 10.
Требуется, следовательно, измерить прикладным гониометром только углы между нормалями к соответствующим граням и взять из таблиц логарифмов значения тангенсов этих углов. В результате получаем геометрическое осевое отношение, которое после установления углов переписывается следующим образом:
a: l: c=tgф(110): I: tgp(01i).
У ромбического топаза были измерены угол между нормалями к (ПО) и (100), равный ф 110 = 27,9°, и угол между нормалями к (011) и (001), равный poii = 43,70. Из этих данных через tg27,9°: I: tg43,7° получаем геометрические осевые отношения 0,529: 1: 0,955,
Если на кристалле отсутствуют грани (100) или (001), то углы ф и р можно получить также делением пополам углов между двумя гранями (ПО) и (011) (рис. 11).
В основе вычислений лежит предположение, что кристалл имеет грани, пересекающие две оси а и b или с и b, поскольку ось b принята за единицу. Углы между нормалями к граням (100), (010) и (001) не дают осевого отношения. Они указывают на сингонию и составляют 90° в ромбической, тетрагональной и кубической сингониях, 60° в одной плоскости гексагональной синго–нии. В триклинной сингонии во всех плоскостях и в моноклинной в одной плоскости эти углы между нормалями отличаются от 90 и 60° и являются характеристическими для каждого минерала. Они связаны с углами между осями. Вычислять их здесь не представляется возможным. Точно так же расчет осевого отношения из углов между нормалями к граням (111) или произвольными гранями (hkl] приходится оставить на долю учебников кристаллографии.
