Понятие непрерывного отображения, которое мы схематично описали, впоследствии стало фундаментальным в проективной геометрии. Основная идея заключается в следующем: допустим, что мы обнаружили некоторое геометрическое свойство эллипса. Если мы будем перемещать один из его фокусов так, как мы объяснили выше, это свойство должно сохраниться. При перемещении фокуса эллипс будет становиться более или менее вытянутым. Если преобразование является непрерывным, настанет момент, когда это же свойство будет применимо к окружности, параболе или гиперболе.
Прием непрерывного изменения позднее использовал Блез Паскаль (1623–1662) в случае правильных многоугольников: он преобразовывал, например, шестиугольник в пятиугольник, непрерывно сдвигая две вершины по направлению друг к другу, пока они не совпадут.
Как Кеплер решил проблему, возникающую при использовании этого метода при переходе к бесконечности? Он рассуждал так: прямая бесконечно продолжается с обоих концов, пока они не совпадут в одной точке. Для Кеплера Вселенная была конечной, но очень, очень, очень большой. Достаточно большой, чтобы вместить в себя все необходимое, и даже больше, но все-таки конечной.
Как бы то ни было, важно не только то, что Вселенная считалась достаточно большой, чтобы вместить в себя изгибающуюся прямую, концы которой, после того как охватят все сущее, совпадают (похожей идеи в некотором роде придерживался и Альберт Эйнштейн при формулировке понятия пространства-времени). Более важно, что Кеплер аккуратно подошел к понятию непрерывного преобразования.
Квадратуры
Термин «квадратура» означает построение квадрата, равного по площади данной фигуре. Задача о вычислении площадей всегда была одной из самых популярных задач прикладной математики. Известны сравнительно простые способы вычисления площадей плоских фигур, ограниченных отрезками прямых. Теорема Пифагора и геометрия Евклида позволили вычислять площади треугольников и всевозможных прямоугольников. Более сложные фигуры можно было разбить на треугольники и прямоугольники. Для этого требовались немалые знания и умения, однако в большинстве случаев эта задача имела решение. Задача существенно усложнялась, если некоторые стороны фигуры были криволинейными — приемы вычисления их площадей не были известны. Греки производили подобные расчеты, однако им не удалось избавиться от неудобств, вызванных присутствием актуальной бесконечности.
Почему как только фигура перестает быть прямолинейной, в расчетах ее площади начинает фигурировать бесконечность и возникают связанные с этим проблемы?
Причина в том, что кривая линия представляется как бесконечная последовательность отрезков прямой, или, что равносильно, прямая представляется как результат аппроксимации незамкнутыми кривыми, как показано на рисунке.
По мере спрямления кривых расстояние между ними и прямой уменьшается, особенно в окрестности точки Р. На бесконечности прямая и кривая совпадают.
Представим себе прямую, произвольную точку Р на этой прямой и ряд кривых, касающихся прямой в точке Р, кривизна которых постепенно уменьшается, и они все больше приближаются к прямой. Очевидно, что сколько бы кривых, касающихся прямой в точке Р, мы ни рисовали, ни одна из них не будет совпадать с исходной прямой. Можно представить, что это все-таки произошло, и бесконечные кривые в итоге совпали с прямой. Потенциально это возможно, но «актуально» (здесь мы делаем отсылку к актуальной бесконечности) мы не располагаем каким-либо четким методом для реализации этого. Вновь возникает вопрос о переходе к бесконечности как к чему-то конкретному и вызванные им радикальные изменения. Кривые, которые все больше приближаются к прямой, обладают общим свойством: для всех них можно определить величину, которая будет числовой характеристикой их кривизны.
В пределе, когда кривые превращаются в прямую, эта величина исчезает (можно говорить о кривых нулевой кривизны) — в этом и заключается тот самый радикальный переход, о котором мы говорим. Именно по этой причине бесконечность ассоциируется с загадкой творения. В какой-то, недоступный нам, момент времени в определенной точке пространства происходит преобразование, и одна из кривых превращается в прямую. Мы говорим «одна из кривых» не в буквальном смысле, поскольку не существует «последней кривой», так как в этом случае понятие бесконечно малого исчезает и непрерывный процесс сменяется дискретным переходом от последней кривой к прямой. Этот акт творения оказал огромное влияние на научную мысль ввиду сопутствовавших ему философских и религиозных коннотаций и определил границы запретной темы как в философии, так и в религии. Возможно, было бы разумнее говорить о мутации, а не о творении, что ближе к восточной философии, где религиозная мысль теснее связана с философской. В этом смысле более уместно и, возможно, более точно было бы говорить, что кривая мутирует в прямую.
ЕвдоксЕвдокс (ок. 408–355 гг. до н. э.) наряду с Архимедом (ок. 287–212 гг. до н. э.), Пифагором (570–500 гг. до н. э.) и Евклидом (ок. 325–265 гг. до н. э.) был одним из важнейших представителей греческой математики. В области концептуальной математики он, вне всяких сомнений, намного превосходил всех остальных.
В те времена греческая математика все еще переживала удар, вызванный открытием иррациональных чисел, несоизмеримых с целыми. Ясного критерия для сравнения величин разной природы не существовало. Евдокс первым дал этому четкое определение (определение 5 книги V «Начал» Евклида): «Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке».
В переводе на более современный язык это означает, что два отношения а/Ь и c/d равны, если для двух любых натуральных чисел k и k' выполняется условие:
если ka < k'b, то kc < k'd;
если ka = k'b, то kc = k'd;
если ka > k'b, to kc > k'd.
Определение кажется тривиальным, но это совершенно не так. Нужно учитывать, что в формулировке Евдокса оно применимо к соотношениям корней чисел и даже к геометрическим фигурам. Например, первые две величины могут обозначать сферы, третья и четвертая — кубы, построенные на диаметрах этих сфер. Более того, в этих правилах можно увидеть первые наброски будущего определения иррационального числа, данного в XIX веке Рихардом Дедекиндом с помощью метода, который он сам называл методом сечений.
* * *
ЕВДОКС И АСТРОЛОГИЯ
Евдокс родился около 408 г. до н. э. в Книде — древнегреческом городе в Карии, на территории современной Турции. Он также известен как астроном и географ, совершивший важные открытия в этих науках. Евдокс рассчитал траектории различных звезд и определил, что солнечный год на 6 часов длиннее, чем принятый тогда календарный, состоявший из 365 дней, и первым разделил небесную сферу на градусы широты и долготы. Он также создал карту звездного неба и календари, занимался исследованиями по метеорологии и определению смены времен года в долине Нила. Знания астрономии, которые он использовал в своих вычислениях, стали причиной его разногласий со жрецами. Евдокс, будучи противником астрологии, аргументировал свои взгляды не постулатами веры, о которых сложно вести спор, а методологическими положениями: «Когда делают предсказания о жизни человека по его гороскопам, основанным на дате его рождения, этим предсказаниям не стоит придавать значения, поскольку влияние звезд столь сложно, что на всей Земле нет такого человека, который смог бы его вычислить».
* * *
Еще одним важным открытием Евдокса стала так называемая аксиома о непрерывности, также известная как лемма Архимеда (сам Архимед писал, что автором этой леммы является Евдокс), которая гласит: «Для данных двух величин, между которыми существует соотношение, можно найти одну из них, превосходящую другую». Важность этой леммы заключается в том, что она позволяет доказать путем доведения до абсурда одно из самых важных утверждений в истории математики, благодаря которому Евдокс и многие другие ученые смогли вычислить площади и объемы криволинейных фигур. Утверждение Евдокса звучит так: «Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины».
