Ему удалось изобрести устройство для быстрого умножения и деления, состоящее из стержней с квадратным сечением и доски для умножения. В 1617 г. Непер издал руководство под названием «Рабдология» (счет с помощью палочек), в котором он объяснил правила работы с этим устройством. Устройство Непера, предшественник логарифмической линейки, использовалось в Шотландии более 100 лет. (Непер позднее усовершенствовал этот инструмент, заменив стержни карточками, которые позволяли умножать большие числа. На самом деле эти карточки были прообразом знаменитых перфокарт, которые появились более чем четыре века спустя вместе с первыми компьютерами IBM.)
Однако важнейшим достижением Непера с точки зрения истории математики являются логарифмы — гениальный способ вычислений, который он опубликовал в 1614 г. под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio («Описание удивительной таблицы логарифмов»). Чтобы оценить важную роль, которую логарифмы играют в теории простых чисел, мы сначала рассмотрим некоторые из их свойств.
Логарифмы
Логарифмы основаны на следующей идее. Мы знаем, что число 1000 = 10 х 10 х 10 может быть записано как десять в степени три, 103 Аналогично:
1 000 = 103;
10 0 00 = 104;
1 000 000 = 106.
Предположим, мы хотим перемножить эти числа:
1000 x 10000 x 1000000 = 10000000000000.
Но 10000000000000 = 1013.
Мы могли бы выполнить это умножение, сразу написав 103 + 4 + 6 = 1013. Совершенно очевидно, что проще складывать, чем умножать. Чтобы убедиться в этом, попробуйте умножить 1038 х 1052 = 1090, записав числа в развернутом виде!
Здесь и появляются логарифмы. Глядя на пример 1000 = 103, мы можем задать такой вопрос: «В какую степень надо возвести число 10, чтобы получить 1000?» Ответом будет 3. Запишем это следующим образом: log10 (1000) = 3. Тогда, например:
log10 100 = 2;
log10 1 000 = 3;
log10 1 000 000 = 6.
Главной идеей такого подхода является то, что числа гораздо проще складывать, чем умножать. Например:
log10 (100 x 1000) = log10100 + log101000 = 2 + 3 = 5.
Применяя обратную функцию, антилогарифм, мы получаем конечный результат:
105 = 100000.
Эти операции показаны в следующей в таблице:
Первая строка таблицы начинается с числа 1, и каждое следующее число в 10 раз больше предыдущего. Такой ряд чисел называется геометрической прогрессией со знаменателем 10. С другой стороны, числа в нижней строке таблицы получаются путем добавления единицы к предыдущему числу. Таким образом, верхняя строка содержит операции умножения, а нижняя строка — операции сложения. Как видно из таблицы, операция умножения
1000 x 100000 = 100000000
эквивалентна операции сложения
3 + 5 = 8.
Мы можем составить такую таблицу, используя любую геометрическую прогрессию в верхней строке, например:
Чтобы умножить 4 на 16 (верхняя строка), мы сложим 2 и 4 (нижняя строка), получив число 6, которое соответствует числу 64. Аналогично мы можем выполнить операцию деления, но в этом случае результат получается путем вычитания соответствующих чисел в нижнем ряду. Например, чтобы разделить 256 на 8, мы просто вычтем 3 из 8, то есть 8–3 = 5, что соответствует 32, числу над числом 5.
Такое соотношение между числами в нижней и верхней строках является ключевым для логарифмов.
Теперь мы можем сформулировать строгое определение логарифма. Когда мы говорим о том, что число 32 соответствует числу 5, мы имеем в виду следующее равенство:
25 = 32.
Напомним, что 2 в степени 5 означает, что число 2 умножается само на себя пять раз. Мы можем читать строки второй таблицы следующим образом: «Число 3 является показателем степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 8» и «число 7 является показателем степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 128», что сокращенно записывается так:
log28 = 3;
log2128 = 7.
Эти выражения читаются соответственно так: «Логарифм числа 8 по основанию 2 равен 3» и «логарифм числа 128 по основанию 2 равен 7». Теперь рассмотрим пример из первой таблицы, 104 = 10000, то есть 4 является показателем степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число 10000. Запишем это с использованием логарифма: log1010 000 = 4, что читается как «логарифм числа 10000 по основанию 10 равен 4».
Итак, обратимся к общему определению. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b (ас = Ь), что записывается как
logab = с.
Непер был заинтересован в упрощении вычислений в сферической тригонометрии и впервые применил логарифмы для тригонометрических функций. Его подход не был похож на используемый сегодня, который можно назвать арифметическим.
Его метод был «кинематическим», то есть он рассматривал два отрезка, пробегаемых с разной скоростью. Слово «логарифм», впервые использованное самим Непером, означает «числа отношений» в смысле отношений между различными отрезками. (В нашем случае это отношение между числами из разных строк таблицы.) Непер работал с логарифмами по основанию 107, что было не особенно практично. Кроме того, ему не удалось установить, что логарифм числа 1 равен нулю, что равносильно соотношению 100 = 1. Генри Бригс (1561–1632), заведующий кафедрой геометрии Оксфордского университета, заинтересовался логарифмами Непера, написал ему и предложил встретиться. Летом 1615 г. Бригс приехал к Неперу в замок Мерчистон, где они обсудили возможность использования числа 10 в качестве основания логарифма и соотношение log 1 = 0. Непер, который был болен в то время, отказался составлять новую версию своих логарифмических таблиц. Через два года Непер умер, и Бригс сформулировал определение десятичных логарифмов, так называемых «логарифмов Бригса».
Кроме того, как оказалось, вроде бы случайный подход при составлении логарифмических таблиц стал важной вехой в развитии математики. На задней обложке школьных учебников принято приводить таблицу умножения, аналогично и список простых чисел помещался в конце логарифмических таблиц. Тому была особая причина. Напомним, что любое число можно представить в виде произведения простых множителей, поэтому логично сначала вычислить логарифмы простых чисел, а затем считать логарифмы других чисел путем простого сложения результатов.
Логарифмические таблицы, которые Гаусс использовал в школе, содержали список первой тысячи простых чисел. Перед гением оказались два вроде бы не связанных между собой понятия, но их последующее сочетание привело к одной из самых интересных теорем алгебры.
* * *
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
В наше время, чтобы посчитать логарифм, достаточно нажать клавишу карманного калькулятора, но в XVII в. использовались огромные книги, содержащие логарифмы как можно большего количества чисел. В 1617 г. Генри Бригс опубликовал первые таблицы с логарифмами чисел от 1 до 1000 с точностью до четырнадцати десятичных знаков. Семь лет спустя появились новые таблицы, сначала для чисел от 1 до 20 000, а затем от 20 000 до 100 000, также с точностью до четырнадцати десятичных знаков. Издания этих таблиц вскоре были напечатаны и в других странах в связи с огромной практической пользой вычислений с помощью логарифмов. Морская навигация требовала все более точных астрономических карт, и астрономам приходилось тратить много часов, дней и даже лет на сложные тригонометрические расчеты. Как говорил Пьер-Симон Лаплас, Непер своим изобретением «продлил жизнь астрономов».
Первые логарифмические таблицы, опубликованные в Эдинбурге в 1614 г.
Иоганн Карл Фридрих ГауссГаусс родился в Брауншвейге, в Германии, 30 апреля 1777 г. Он происходил из бедной семьи и, скорее всего, работал бы на ферме, если бы не вмешательство судьбы: уже в начальной школе в возрасте девяти лет Гаусс был лучшим учеником. В этой общественной школе работал всего один учитель, господин Бюттнер, которому приходилось управляться с сотней учеников. Поэтому он старался занять детей длинными утомительными вычислениями. Однажды он дал им задание сосчитать сумму первых ста натуральных чисел. В тот же момент Гаусс положил свою тетрадь и сказал: «Готово!». Он не только посчитал сумму
1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51) = 101 + 101 + … + 101 = 101 х 50 = 5050
за рекордно короткое время, но и решил задачу о нахождении суммы арифметической прогрессии. Бюттнер, увидев исключительную одаренность мальчика, передал его Иоганну Мартину Бартельсу (1769–1836), талантливому преподавателю математики, который был всего лишь на восемь лет старше Гаусса. С Бартельсом, с которым они оставались близкими друзьями до конца жизни, Гаусс сделал первые шаги в мире чисел. Мать Гаусса, Доротея Бенц, понимая, что надо развивать необычные способности сына, но не имея собственных средств, обратилась к герцогу Брауншвейга. Тот стал покровителем мальчика и дал ему стипендию для обучения в гимназии, а затем в Гёттингенском университете. Вот так молодой Гаусс избежал судьбы фермера и стал «принцем математики». Вершиной его профессиональной карьеры стала должность профессора астрономии и директора обсерватории в Гёттингенском университете. Жизнь Гаусса протекала относительно спокойно.
