Фрагмент картины «Диспут королевы Кристины и Декарта» французского художника Пьера-Луи Дюмениля. Версаль.
Глава 4
Математический анализ
История математического анализа очень увлекательна, а его постепенному развитию сопутствовали споры, касавшиеся бесконечности, в частности бесконечно малых величин, поэтому математический анализ также называется анализом бесконечно малых.
Анализ бесконечно малых
Почему он называется анализом и какое отношение к нему имеют бесконечно малые? Понятие «анализ» указывает, что в математическом анализе решение задачи рассматривается как рабочая гипотеза, после чего проводится анализ того, каким образом стало возможным прийти к этому решению. Одним из наиболее выдающихся ученых, которые использовали этот метод, был Декарт, а истоки метода восходят ко временам Евклида.
Название «анализ бесконечно малых» объясняется использованием величин, связанных с геометрическими элементами. Эти величины делятся произвольное число раз (бесконечное деление), а затем рассматриваются как основные и неделимые составляющие всего. Как вы уже поняли, анализ бесконечно малых восходит к знаменитому методу исчерпывания, придуманному Евдоксом, и был систематически описан математиками XVII столетия, в частности Робервалем, Барроу, Ньютоном и Лейбницем.
Отметим еще одно важное совпадение. С одной стороны, математика к тому времени превратилась в самостоятельную дисциплину в том смысле, что в ней не использовались модели природы. Скорее наоборот: это природа должна была адаптироваться к математике, что следовало понимать не как гипотезу, а как методологию, позволяющую создать прочную теорию, которая, разумеется, должна была найти практическое применение. Пример: с помощью методов анализа стало возможным определить, что траектория снаряда представляет собой параболу — геометрическую фигуру, четко определенную на языке функций. Наиболее вероятно, что траектория снаряда не является идеальной параболой, но, перефразируя Торричелли, «тем хуже для снаряда».
Другой важный момент — появление в теоретической физике двух новых понятий: тело и материальная точка. Первое ввел Декарт, а второе — Ньютон. Яблоко, которое якобы упало на голову Ньютону, было не спелым фруктом, приятным на вкус, а телом конкретных размеров, которое методами анализа можно свести к материальной точке.
Также следует учитывать, что в то время физика носила ярко выраженный прикладной характер: ее задачи имели исключительно практическую направленность. Например, известный оптический закон о том, что угол падения луча равен углу его отражения, очень важен при конструировании оптических приборов, однако эти углы отсчитываются от нормали, проведенной к отражающей поверхности в заданной точке. Если эта поверхность является прямой, к ней достаточно провести перпендикуляр в заданной точке, но если речь идет о криволинейной поверхности, как в большинстве оптических инструментов, то возникает интересная геометрическая задача. Как показано на рисунке, нормаль к криволинейной поверхности в точке — это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в заданной точке, но алгоритм построения касательной к произвольной кривой в то время был неизвестен.
Касательная «прикасается» к кривой в единственной точке. Перпендикуляр к касательной в этой точке, по определению, является нормалью к кривой.
Еще один пример связан с нахождением максимумов и минимумов. Вернемся к примеру со снарядом. Очевидна необходимость вычисления максимальной дальности полета снаряда (а в некоторых случаях — максимальной высоты) в зависимости от угла наклона орудия.
Следующие четыре нерешенные задачи предопределили зарождение математического анализа, или анализа бесконечно малых:
— построение касательной к кривой в точке;
— расчет максимумов и минимумов функции;
— расчет квадратур, то есть вычисление площади, ограниченной одной или несколькими кривыми;
— спрямление кривых, то есть вычисление длины кривой между двумя ее точками.
Во всех этих задачах присутствуют бесконечно малые величины.
Ньютон и Лейбниц считаются родоначальниками математического анализа, в котором они систематизировали знания, накопленные их предшественниками. Они следовали разными путями, и им обоим пришлось столкнуться с загадками бесконечности, которые они решили каждый по-своему.
* * *
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЭЙЛЕРА
С помощью интегралов можно рассчитывать не только площади плоских фигур, но также длины кривых, объемы тел, ограниченных произвольными поверхностями, и тел вращения. В общем случае интегралы позволяют найти любое значение, выраженное в виде бесконечной суммы бесконечно малых величин, то есть почти все что угодно. Сфера практического применения интегралов столь широка, что они образуют отдельный раздел прикладной математики. Вне зависимости от того, где выполняется вычисление интегралов, на маленьких калькуляторах или в мощных компьютерных программах, сложно представить инженера, которому не требовалось бы интегральное исчисление. В 1770 году швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783) создал трехтомный труд по интегральному исчислению. В некотором смысле все современные книги по математическому анализу являются всего лишь измененными и обновленными изданиями этого труда, в котором даже спустя 150 лет после публикации никто не смог найти ни единого недочета. По этой причине «Интегральное исчисление» Эйлера считается важнейшей работой по математическому анализу из когда-либо написанных.
Обложка первого тома «Интегрального исчисления» Эйлера.
* * *
Ньютон
Исаак Ньютон (1643–1727), который считается скорее физиком, чем математиком, внес чрезвычайно важный вклад в создание математического анализа. Он разработал оригинальную систему решения задач о квадратурах и о спрямлении кривых. Для этого он использовал бесконечные ряды — выражения, которые определяются уравнением, первый член которого содержит изучаемую функцию, а второй — бесконечную сумму функций, имеющих схожее поведение. Например, первым членом следующего уравнения является логарифмическая функция, вторым — сумма бесконечного числа степенных функций, поведение которых известно:
* * *
ТАИНСТВЕННАЯ НАУКА
«Математические начала натуральной философии» Ньютона всегда считались непростыми для понимания — это неудивительно, если учесть, что Ньютон умышленно усложнил свою работу. Как-то раз он признался другу, что поступил так, чтобы «избежать атак со стороны шарлатанов от математики»: предыдущие работы Ньютона, посвященные природе света, уже подвергались ожесточенной и не всегда оправданной критике. Некоторые из полученных результатов Ньютон и вовсе записал шифром. Следующая последовательность букв и цифр
6а сс d ае 13eff7i 31 9n4o 4q rr 4s 9t 12vx
отнюдь не сложный ключ или числа из компьютерной программы. Это так называемый логогриф — способ шифрования, который Ньютон использовал для описания своего метода анализа флюксий, чтобы Лейбниц не смог прочитать его записи и приписать их авторство себе. Говорят, что последнему понадобилось бы потратить на расшифровку так много сил, что быстрее было бы самостоятельно прийти к аналогичным результатам.
* * *
Исаак Ньютон на портрете Гэтфрида Кнеллера.
Суть метода Ньютона заключается в том, что с увеличением числа слагаемых второго члена уравнения мы все больше и больше приближаемся к истинному значению функции. Если мы хотим всего лишь произвести вычисления, достаточно знать желаемую величину ошибки, но если необходимо проанализировать логарифмическую функцию и изучить ее поведение, нужно, пусть и неявно, признать существование актуальной бесконечности как суммы ряда. Единственный комментарий Ньютона на эту тему содержится в его работе «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»: «…Действительно, рассуждения в нем не менее достоверны и уравнения не менее точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии ни обозначить, ни воспринять все члены этих уравнений так, чтобы точно узнать из них искомые величины». Здесь мы снова видим прагматичный подход Ньютона: ученый говорит, что наши способности воспринять актуальную бесконечность ограничены, но он признает ее существование как результат рассматриваемых уравнений с бесконечным числом членов.
