My-library.info
Все категории

Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

На электронном книжном портале my-library.info можно читать бесплатно книги онлайн без регистрации, в том числе Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии. Жанр: Математика издательство -, год 2004. В онлайн доступе вы получите полную версию книги с кратким содержанием для ознакомления, сможете читать аннотацию к книге (предисловие), увидеть рецензии тех, кто произведение уже прочитал и их экспертное мнение о прочитанном.
Кроме того, в библиотеке онлайн my-library.info вы найдете много новинок, которые заслуживают вашего внимания.

Название:
Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии
Автор
Издательство:
-
ISBN:
-
Год:
-
Дата добавления:
13 февраль 2019
Количество просмотров:
200
Читать онлайн
Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии краткое содержание

Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - описание и краткое содержание, автор Жуан Гомес, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки My-Library.Info
Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии читать онлайн бесплатно

Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - читать книгу онлайн бесплатно, автор Жуан Гомес

то заметим, что при очень малых r множитель будет стремиться к 1, и поэтому формула сведется к известному выражению евклидовой геометрии:

С = 2·π·r.

Это можно доказать с помощью простых вычислений. Для простоты мы будем измерять расстояния в километрах. Возьмем выражение для длины окружности в виде степенного ряда. Пусть коэффициент k имеет значение = 1017, и мы хотим посчитать длину окружности радиуса 100 км.

Подставим эти значения в выражение


а также в евклидову формулу 2π·r, и мы увидим, что разница составляет лишь 10-9.

Если два значения длины окружности посчитать для радиуса в 1 км, разница будет порядка 10-12. Продолжим вычисления с меньшими значениями по мере того, как круг сжимается. Для радиуса в один метр разница составит примерно 10-15. Таким образом, мы показали, что при небольших размерах длина окружности в гиперболической геометрии приближается к длине окружности в геометрии Евклида. Такие же рассуждения можно применить и к формулам для площади треугольника.

* * *

РЯДЫ ТЕЙЛОРА

При определенных условиях можно записать следующее разложение в ряд:


Это выражение для е4 называется рядом Тейлора, в честь английского математика Брука Тейлора (1685–1713). Если у вас есть простейший калькулятор с четырьмя основными операциями (сложение, вычитание, умножение и деление), эта формула позволяет посчитать е в любой степени, просто подставив его значение вместо А, чем больше членов ряда будет посчитано, тем выше точность результата. Выражение n! означает произведение n·(n — 1)·(n — 2)·…·1 и читается как «n факториал». Например: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Если выражение для ряда Тейлора применить к формуле длины гиперболической окружности

то мы получим:


где последний член очень мал и содержит в 11-й степени. Если в этом выражении вынести общий множитель С = 2·π·r за скобки, то мы получим следующую формулу:


* * *

Отношение n/k указывает на различие в свойствах фигур в гиперболической и евклидовой геометриях, где п означает размер фигуры (радиус окружности, длина стороны треугольника). Однако в астрономических масштабах отношение n/k нельзя не учитывать.

На самом деле результаты, о которых мы говорили, служат подтверждением того, что гиперболическая геометрия является обобщением евклидовой геометрии. Лобачевский особенно подчеркивал это свойство своей теории, назвав ее пангеометрией, то есть «универсальной геометрией».


Теорема Пифагора

Всегда полезно взглянуть на известные результаты через призму другой теории. Но именно в теореме Пифагора эффект новых геометрий наиболее заметен. В гиперболической геометрии теорема Пифагора играет столь же важную роль, как и в геометрии Евклида, и, как можно было ожидать, для небольших расстояний она ведет себя так же, как и другие гиперболические объекты. Другими словами, на небольших расстояниях она совпадает с евклидовой версией. Однако при увеличении расстояния ситуация меняется.

Рассмотрим гиперболический треугольник, стороны которого мы обозначим а, b и с, где с является гипотенузой; вершинами треугольника будут точки А, В и С. Форма гиперболического треугольника отличается от классической:



Для этого треугольника справедливо равенство


которое может быть переписано в терминах гиперболической геометрии как:


Раскладывая выражение в степенной ряд, как мы это делали для формулы длины окружности, мы получим следующее равенство:



Отсюда видно, что в случае небольших сторон треугольника формула Пифагора остается в силе:

с2 = а2 + Ь2,

принимая традиционный вид, как в евклидовой геометрии.

* * *

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Гиперболические функции называются так потому, что по свойствам они напоминают классические тригонометрические функции. Они таким же образом связаны с гиперболой, как традиционные тригонометрические функции связаны с окружностью.


* * *

Все эти примеры говорят об общем результате, поэтому мы можем утверждать, что параллельные прямые на гиперболической плоскости в малых областях не отличаются от евклидовых параллельных прямых. С другой стороны, в этих вычислениях использовались гиперболические тригонометрические функции — особые аналоги традиционных функций синуса и косинуса. Они называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. Добро пожаловать в гиперболическую тригонометрию.


Гиперболическая тригонометрия

Работая над своими сложными математическими теориями, Бойяи и Лобачевский вывели тригонометрические выражения для гиперболической геометрии. Удивительным является тот факт, что, как и все остальное, они сделали это независимо друг от друга. Это свидетельствует об их гениальности, но также показывает, что результаты, которые они получили, действительно являются правильными.

Соотношения, выведенные Бойяи и Лобачевским, в малых областях могут быть сведены к формулам классической тригонометрии, но в других случаях они характеризуют новые, совершенно неисследованные миры.

Для переменной х гиперболический синус и гиперболический косинус определяются следующим образом:


Аналогично элементарной тригонометрии, гиперболический тангенс определяется следующей формулой:

th x = sh x/ch x

Здесь мы вкратце напомним так называемую теорему синусов.

В треугольнике со сторонами а, b и с и с углами А, В и С



справедливо следующее соотношение:

a/sin A = b/sin В = c/sin С

Аналогичное соотношение можно сформулировать в гиперболической тригонометрии:

sin A/sh a = sin B/sh b = sin С/sh c



Чтобы проверить гиперболические равенства, нужно подставить вместо гиперболических функций их определения:


и затем, выполнив соответствующие расчеты, убедиться, что получится один и тот же ответ.

Используя определения гиперболических синуса и косинуса, можно вывести и другие тригонометрические тождества, аналогичные известным тождествам из евклидовой геометрии. Например, мы можем проверить, что

ch(x + у) = chchy + shshy

аналогично традиционному выражению

cos(x + у) = coscosy + sinsiny

* * *

ОСНОВНОЕ ТОЖДЕСТВО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

В евклидовой тригонометрии есть важное соотношение, называемое основным тригонометрическим тождеством, которое утверждает, что sin2x + cos2x1. Аналогом в гиперболической тригонометрии является следующее тождество:


ВОПРОС ТЕРМИНОЛОГИИ

В евклидовой терминологии синус и косинус называются круговыми функциями, поскольку они получаются из свойств круга. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале системы координат. Уравнение этой окружности записывается как х2 + у2 = 1. В этом простом уравнении мы можем сделать замену переменной, выразив переменные х и у через параметр t следующим образом: х = cost и у = sint. Здесь х и у удовлетворяют соотношению х2 + у2 = 1. Такое уравнение называется параметрическим уравнением окружности.

Если вместо круга мы возьмем гиперболу, график функции х2 — у2 = 1, то х ch t и у = sh t удовлетворяют соотношению х2  — у2 = 1. Это уравнение называется «уравнением гиперболы».


Жуан Гомес читать все книги автора по порядку

Жуан Гомес - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки My-Library.Info.


Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии отзывы

Отзывы читателей о книге Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии, автор: Жуан Гомес. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.

Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*
Подтвердите что вы не робот:*
Все материалы на сайте размещаются его пользователями.
Администратор сайта не несёт ответственности за действия пользователей сайта..
Вы можете направить вашу жалобу на почту librarybook.ru@gmail.com или заполнить форму обратной связи.