а = m2 — n2; b = 2mn; с = m2 + n2.
Полученные числа а, Ь, с удовлетворяют соотношению
а2 + Ь2 = (m2 — n2)2 + (2mn)2 = m4 — 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = с2,
следовательно, они образуют пифагорову тройку. Если мы выберем m и n так, чтобы они были взаимно простыми и только одно из них было четным, то по этой же формуле можно получить все примитивные пифагоровы тройки, то есть те, в которых а, b и с являются взаимно простыми. Отсюда следует, что существует бесконечное количество примитивных пифагоровых троек.
Для каждой тройки можно построить прямоугольный треугольник, длины сторон которого будут выражены целыми числами. Ферма доказал, что площадь таких треугольников никогда не может быть равна квадрату числа.
* * *
Слово «совершенные» больше связано с эстетикой, чем с математикой. Эти числа красивы не из-за каллиграфического написания, не потому, что их сложно найти и не из-за витиеватости определения. Вместо этого они обладают одним очень простым свойством.
Возьмем в качестве примера число 6. Его делители, то есть числа, на которые оно делится без остатка, — это 1, 2, 3 и 6. Удивительно, но 1 + 2 + 3 = 6, то есть сумма всех делителей, меньших 6, дает в сумме 6. Следующее совершенное число — 28. Его делители равны 1, 2, 4, 7, 14 и 28. Нетрудно видеть, что 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Следующее совершенное число — 496. Его делители таковы: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 и 496, и нетрудно показать, что 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. Следующее совершенное число — 8128, так как 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128. Эти четыре совершенных числа были известны еще в Античности. Евклид упоминает их в своей книге «Начала» и в теореме 36 книги IX приводит общую формулу для этих чисел.
Появление совершенных чисел
Примерно в 100 году философ Никомах Герасский, представитель неопифагореизма, написал «Введение в арифметику», где приводилась классификация всех чисел. Числа делились на избыточные (сумма делителей которых больше самого числа), недостаточные (сумма делителей которых меньше самого числа) и совершенные (сумма делителей которых равна самому числу). В этой книге объясняется формула Евклида для нахождения совершенных чисел, «которая охватывает все совершенные числа и не включает ни одного, которое таковым не является. Совершенные числа находятся так. Сначала нужно записать в ряд некоторое количество степеней двойки, начиная с единицы и заканчивая любым выбранным вами числом: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096. Для каждого нового члена нужно найти сумму этого ряда. Если результат не является составным числом, его нужно умножить на последнее число, добавленное в ряд. Результат умножения всегда будет совершенным числом. Если же сумма не является простым числом, нужно прибавить к ней следующий член ряда и посмотреть, является ли новая сумма составным числом. Если результат — составное число, нужно продолжать складывать члены ряда. Если же результат является простым числом, его нужно умножить на последний член ряда, результат будет совершенным числом, и так до бесконечности. Это легко проверить на конкретных примерах:
1 + 2 = 3 является простым, следовательно,
(1 + 2)·2 = 3·2 = 6 — совершенное число.
1 + 2 + 4 = 7 является простым, следовательно,
(1 + 2 + 4)·4 = 7·4 = 28 — совершенное число.
1 + 2 + 4 + 8 = 13 не является простым, поэтому мы пропускаем его.
Далее
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 является простым, следовательно,
(1 + 2 + 4 + 8 + 16)·16 = 31·16 = 496 — совершенное число.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 не является простым, поэтому мы пропускаем его.
Наконец, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 — простое, следовательно,
(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64)·64 = 127·64 = 8128 — совершенное число.
С помощью этой формулы действительно можно найти первые четыре совершенных числа. Существует и другая, более простая формула для нахождения совершенных чисел. Нетрудно видеть, что если мы складываем степени двойки, начиная с нулевой и не пропуская ни одной, то результатом будет следующая степень двойки минус один, иными словами,
1 + 2 = 3 = 4–1 = 22 — 1;
1 + 2 + 4 = 7 = 8–1 = 23 — 1;
1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 — 1 = 24 — 1.
И так далее. Таким образом, мы можем преобразовать формулу Евклида и записать ее в современной математической нотации:
6 = (22 — 1)·2
28 = (23 — 1)·22
496 = (25 — 1)·24
8128 = (27 — 1)·26.
И всякий раз, когда 2n — 1 простое число, (2n — 1)·2n-1 будет совершенным числом.
Предположения о совершенных числах
Математики Античности, которым были известны первые четыре совершенных числа, выдвигали самые разнообразные предположения. Например, можно заметить, что значение n для первых четырех простых чисел является членом последовательности простых чисел 2, 3, 3, 7. Возникает соблазн предположить, что следующим совершенным числом будет (211 — 1)·210, но это не так, потому что 211 — 1 = 2047 = 23·89. Это число не является простым, следовательно, n = 11 не соответствует совершенному числу.
Также было обнаружено, что первое совершенное число имеет одну цифру, второе — две, третье — три и так далее. Следовательно, считалось, что пятое совершенное число будет иметь пять цифр. Но это не так, потому что пятым совершенным числом является (213 — 1)· 212 = 8191·4096 = 33 350 336, которое имеет восемь цифр.
Древние также заметили, что последние цифры совершенных чисел чередуются: 6, 8, 6, 8, 6. Следовательно, шестое совершенное число должно заканчиваться на 8. Но и это предположение не подтвердилось, так как шестое совершенное число равно (217 — 1)·216 = 131 071·65 536 = 8 589 869 056 и заканчивается на 6.
Но не все предположения древних оказывались ошибочными. Они предполагали, что все совершенные числа будут четными и что с помощью данной формулы можно будет найти их все. Это очень легко предположить, но крайне сложно доказать. Лишь в XVIII веке Леонард Эйлер привел первое доказательство того, что подобным образом можно получить все четные совершенные числа. Следовательно, было доказано, что все совершенные числа оканчиваются на 6 или на 8, но эти цифры не чередуются. Но до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа. Было лишь доказано, что если и существует нечетное совершенное число, то оно должно быть больше 10300. Однако это не доказывает, что нечетных совершенных чисел не существует, ведь что значат несколько триллионов по сравнению с необозримым бесконечным рядом натуральных чисел?
Портрет Леонарда Эйлера кисти Эмануэля Хандманна. Этот математик XVIII века совершил важные открытия, касающиеся совершенных и простых чисел.
Также была выдвинута гипотеза, что совершенных чисел бесконечно много, но пока это не удалось доказать. Постоянно объявляют о том, что открыто новое простое число Мерсенна. Каждому такому числу соответствует совершенное число. В настоящее время сотни добровольцев участвуют в проекте GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), цель которого — поиск простых чисел Мерсенна. Участники проекта загружают на свои компьютеры программу, написанную Джорджем Вольтманом.
Результат коллективных усилий был объявлен 23 августа 2008 года — было найдено самое большое на тот момент простое число Мерсенна, 243112609 — 1. Ему соответствует самое большое из известных совершенных чисел, 243112608·(243112609 — 1), содержащее 25956376 цифр! 12 июня 2009 года было найдено еще одно простое число Мерсенна, на этот раз несколько меньшее: 242643801 — 1. Ему соответствовало сорок шестое совершенное число, равное 242643800·(242643801 — 1), состоящее из 25674128 цифр! И хотя они встречаются все реже, и каждое следующее намного больше предыдущего, никто не знает, действительно ли их на самом деле бесконечное множество. Участники проекта GIMPS продолжают поиски.
* * *
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА И ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОТКРЫТИЯ
В 1650 году Ферма представил математическому сообществу одну из самых знаменитых задач в истории: нужно было показать, что все числа вида являются простыми. Все указывало на то, что предположение Ферма было верным. Для n = 0 получим F0 = 3 — простое число. Для n = 1 получим F1 = 5 — тоже простое число. F2 = 17, F3 = 257 и F4 = 65 537 — все это простые числа. Лишь в 1732 году Эйлер показал, что F5 = 4294967297 = 641·6700417, следовательно, оно не является простым. Затем пришлось дождаться 1880 года, когда Ландри разложил на множители F6 = 274177·67280421310721 настоящий подвиг для эпохи, когда все вычисления производились вручную. В 1975 году Моррисон и Бриллхарт сделали еще один шаг вперед, разложив на множители F7 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217·5704689200685129054721, на этот раз уже с помощью компьютера. До сегодняшнего дня не найдено больше ни одного простого числа Ферма, но также не доказано, что других таких чисел не существует. Однако разложить подобные числа на простые множители — задача, достойная титанов. Зачем нам знать, являются простыми числа подобного вида или нет? Один из ответов дал Гаусс, доказав, что правильный многоугольник можно вписать в окружность с помощью циркуля и линейки только тогда, когда разложение числа его сторон на простые множители содержит только двойки и разные простые числа Ферма.
