- Помню. Дерево - это такая связная фигура, которая состоит только из мостов и тупиков.
- Верно. Ну, а чем же отличается схема путей лабиринта от дерева?
- В лабиринте могут найтись петли, то есть замкнутые пути, а в дереве, как и в настоящем, ветки обратно в ствол его не врастают.
А если мы этот чертеж развернем:
- Вот именно! Но представь себе, что тебе пришлось повстречаться как раз с таким деревом-уродом, у которого некоторые ветки вросли обратно своими концами в ствол и друг в друга. Что бы ты стал делать, чтобы обратить такого урода в обыкновенное дерево, в смысле расположения его ветвей, разумеется?
- 72 -
- Взял бы пилу или топор, залез на это дерево и стал отделять приросшие концы веток друг от друга и от ствола.
- Правильно. Так ведь это и есть твое первое правило, по которому ты, придя на перекресток, где уже был, возвращаешься обратно.
Именно таким образом ты и превращаешь весь лабиринт в дерево. Если ты возвращаешься снова к своему пути, это означает, что ты пошел как бы по вросшей в ствол ветке и сделал круг. А когда ты не хочешь снова идти по основному пути и идешь вспять, то как раз и "отделяешь вросшую ветку", правда, действуя не топором, а просто запрещая себе перескакивать на основной путь.
- Так, - отвечал Илья. - Теперь как будто все ясно. Действительно, если я должен облазить все Начерти-ка сам схему путей этого лабиринта и схему его обхода! дерево, значит, надо облазить каждую ветку, а спускаться вниз я начну только тогда, когда отмечу все ветки. Именно это я и буду делать в лабиринте, превращенном в дерево или в тупиковый лабиринт, если буду соблюдать второе наше правило, то есть не уходить с перекрестка по первому пути, пока есть другие, еще не пройденные дважды коридоры.
- Вот ты разберись хорошенько во всех наших схемах, особенно в схеме УУУ, и тогда все ясно станет. А потом попробуй сам на досуге поразмыслить вот над чем. Наше правило обеспечивает двойной обход лабиринта. А может быть, можно обходить дважды не все коридоры? Ведь схему коридоров лабиринта все же иногда удается превратить в уникурсальную фигуру, удваивая не все коридоры лабиринта. Ну-ка, попробуй найти какое-нибудь общее правило для этого. Ты сам пробовал ходить по лабиринту и знаешь, что это довольно утомительно. Нельзя ли как-нибудь уменьшить количество этих скучнейших, а быть может - кто знает? - и совершенно лишних хождений взад и вперед по одним и тем же коридорам?
При этом, конечно, надо сделать так, чтобы весь лабиринт обойти, и в центре его побывать, и выйти на белый свет от туда.
- 73 -
Вот тут-то, друг Илюша, тебе и придется вспомнить кое-что из того, о чем мы с тобой толковали. Например, о топологической схеме лабиринта, затем о четности перекрестков-узлов в лабиринте и еще кое о чем...
Илюша посмотрел на Радикса и задумался.
- Вот уж не думал, - сказал он через минутку, - что задача о лабиринтах такое сложное дело! Читал я про них в разных книжках, и мне казалось, что это очень просто[7]. Мне только вот еще что приходит на ум. Мы с тобой разбирали лабиринты на плоскости. А могут существовать лабиринты в пространстве?
- Разумеется! Больше того, ведь только такие лабиринты и существуют в действительности. Коридоры копей, каменоломен, шахт, катакомб, как и сплетение подземных ходов, которые роет крот, можно рассматривать как пространственные лабиринты. И все наши правила отлично годятся и в этом случае, ибо они от числа измерений не зависят. Только твое правило правой руки тут никак не удастся применить.
Лабиринт, который построил специально для любителей элоквенции У. У. Уникурсальян, К. Т. Н., Д. Ч. и Н. У., М. Д., К. и К. О. С. М., П. В. В. М.
- 74 -
- Уф! - воскликнул Илюша. - Все-таки это все довольно хитро. Но на досуге я все обдумаю и разберу как следует...
- Итак, - заметил Радикс, - мы с тобой не торопясь разобрали подробно две немаловажные задачки, а в продолжение этого разбора коснулись некоторых довольно серьезных вещей.
Не так уж плохо! Чем с большей старательностью ты отметаешь все излишнее, тем скорее приближаешься к решению...
Илюша задумчиво посмотрел на своего всеведущего друга и промолвил:
- Да... пожалуй... Что ж еще осталось мне спросить у тебя? А, вспомнил! Что это за интересный зверек бегал все время через лабиринт то вперед, то назад, точно заводной, у этой страшной тетушки Розамунды?
- А-а, - засмеялся Радикс, - тебе понравилась ее мышка! Она, братец, не простая мышка, а даже очень умная. Эта мышка - электронный робот. У нее превосходная электронная память, и для нее решить задачу лабиринта довольно просто. Она быстро запоминает свои ошибки и во второй раз уже не ошибается, а бежит по лабиринту, как по садовой аллее[8].
- 75 -
- Интересно!.. А кто такая богиня Лилавати, которую тетушка поминает через каждые два слова?
- Лилавати - прекраснейшая и благороднейшая богиня, - сказал Радикс. - Древние индусские математики называли ее "Прекрасная дева с блистающими очами". А попросту сказать, так называется одна глава из старинного сочинения индуса Бхаскара Ачария "Венец Астрономической Мудрости". Слово это в данном случае значит "благородная наука", а речь идет о решении уравнений. Ну, а у тетушки это просто такая поговорка.
- Так, - отвечал Илюша. - Ну, это по крайней мере хоть нетрудно. А древние индусы очень любили математику, если они придумывали для нее такие красивые имена?
- Ну еще бы! - произнес почтительно Радикс. - Ведь это они придумали нуль. А вычислять с нулем гораздо легче. Наши арабские цифры на самом деле индусские цифры. Вот, например, еще пифагоровы числа, - хоть они и называются пифагоровыми, на самом деле их надо называть вавилонские числа, ведь вавилоняне их знали раньше греков.
- А что такое пифагоровы числа? - спросил Илюша.
- Неужели ты не знаешь? - удивился Радикс. - это очень... Тесс! - вдруг сказал он, сделав серьезное лицо - Постой-ка... Ты ничего не слышишь?
Илюша прислушался и услыхал какие-то довольно медленные, ровные и тихие шаги.
- Кто-то идет сюда, - сказал он.
- Тише, тише! - зашептал Радикс. - Давай спрячемся.
Ты сейчас увидишь замечательное зрелище. Только смотри - ни одного звука. Тесс!..
Илюша и Радикс быстро юркнули в темный угол. Тихие шаги медленно приближались. И они звучали так приятно и гармонично, что казалось, будто слушаешь удивительную музыку, которая становилась вся яснее. И вот из мглы показались какие-то стройные, высокие фигуры.
Одна за другой перед глазами удивленного Илюши выходили из неопределенного тумана и двигались вперед высокие прекрасные женщины в легких одеждах, ниспадавших с их стройных фигур. Они смотрели куда-то вдаль, словно не замечая, что делается кругом, и странно улыбались, будто думая о чем-то, что только им одним известно. Илюша смотрел на них и думал, что эти женщины похожи на тех прекрасных мраморных греческих богинь, которых он в прошлом году видел с напой в Московском музее изобразительных искусств на Волхонке.
- Какие красавицы! - прошептал Илюша. - А я-то думал, что у вас здесь только и есть страшилища, вроде Розамунды.
- 76 -
- Тесс! - зашипел на него Радикс. - Говори потише.
Впрочем, это, брат, такие важные особы, что они, конечно, нас с тобой заметить не могут.
Илюша снова посмотрел на медленно двигающихся стройных молодых женщин и заметил, что у первой на платье выткана цифра "6", у другой- "28", у третьей - "496", у четвертой- "8128". У следующих были, кажется, вытканы тоже какие-то числа, но этого Илюша не мог разобрать.
- Да кто же они такие?
- Тесс!.. - прошипел Радикс. - Говори потише... Это - Совершенства.
- 77 -
благодаря которой читатель узнает очень простое правило, как из септиллиона, то есть из 1000 000 000 000 000 000 000 000 = 1026,
отобрать восемь бесподобных красавиц, и так как это правило применялось с успехом в течение двух с лишним тысяч лет самыми рассудительными людьми, то на него вполне можно положиться. Однако приятные рассуждения на эту тему неожиданно прерываются появлением довольно солидной особы, которую было бы затруднительно осмотреть обычными средствами, поэтому наши путешественники отправляются за помощью к очень юркому, трудолюбивому и словоохотливому маленькому народцу, и затем Илюша узнает немало неведомых ему до сей поры вещей по вопросу о четных и нечетных числах, их квадратах и о том, чем занимаются, с одной стороны, высшая арифметика, а с другой - разные бездельники.
Илюша поглядел на Радикса недоверчиво и спросил:
- То есть как - Совершенства?
- Тише! Тише! - сказал Радикс. - Впрочем, они уже удаляются. Эти удивительные существа суть совершенные числа великого Евклида...
- Это тот ученый грек, который написал "Начала", про геометрию?
- 78 -
- Он самый, а случилось это за три века до нашей эры. Поистине это был великий человек, - ответил очень серьезно Радикс. - "Совершенство же этих чисел заключается в том, что каждое из них равняется сумме своих делителей, разумеется исключая его самого. Например, число "шесть". Его делители - 1, 2 и 3. Сложи и опять получишь шесть. Или число "двадцать восемь". Его делители - 1, 2, 4, 7 и 14. Сложи их, и снова получается двадцать восемь.
