My-library.info
Все категории

Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

На электронном книжном портале my-library.info можно читать бесплатно книги онлайн без регистрации, в том числе Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя. Жанр: Математика издательство -, год 2004. В онлайн доступе вы получите полную версию книги с кратким содержанием для ознакомления, сможете читать аннотацию к книге (предисловие), увидеть рецензии тех, кто произведение уже прочитал и их экспертное мнение о прочитанном.
Кроме того, в библиотеке онлайн my-library.info вы найдете много новинок, которые заслуживают вашего внимания.

Название:
Teopeма Гёделя
Издательство:
-
ISBN:
-
Год:
-
Дата добавления:
13 февраль 2019
Количество просмотров:
184
Читать онлайн
Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя краткое содержание

Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя - описание и краткое содержание, автор Эрнст Нагель, читайте бесплатно онлайн на сайте электронной библиотеки My-Library.Info
Нагель Эрнест, Ньюмен Джеймс Рой. Теорема Гёделя: Пер. с англ. Изд. 2-е, испр. — М.: КРАСАНД, 2010. — 120 с. (НАУКУ — ВСЕМ! Шедевры научно-популярной литературы.)Вниманию читателя предлагается книга известного американского логика Э. Нагеля и опытного популяризатора науки Дж. Р. Ньюмена, посвященная теореме Гёделя о неполноте. Эта теорема была изложена в небольшой статье К. Гёделя, которая впоследствии сыграла решающую роль в истории логики и математики. Авторы настоящей книги, не пытаясь дать общий очерк идей и методов математической логики, строят изложение вокруг центральных, с их точки зрения, проблем этой науки — проблем непротиворечивости и полноты. Доказательство того факта, что для достаточно богатых математических теорий требования эти несовместимы, и есть то поразительное открытие Гёделя, которому посвящена книга. Не требуя от читателя по существу никаких предварительных познаний, авторы с успехом объясняют ему сущность одной из самых замечательных и глубоких теорем математики и логики.Для специалистов по математической логике, студентов и аспирантов, а также всех заинтересованных читателей.

Teopeма Гёделя читать онлайн бесплатно

Teopeма Гёделя - читать книгу онлайн бесплатно, автор Эрнст Нагель

Воспроизведем вкратце первую часть рассуждения Гёделя, согласно которой, если G доказуема, то и ~ G доказуема. Пусть G доказуема. Тогда должна существовать последовательность арифметических формул, являющаяся доказательством для G. Пусть гёделевский номер доказательства есть k. В таком случае между этим k и числом sub(n, 13, n), являющимся гёделевским номером G, должно иметь место арифметическое отношение, обозначаемое через «Dem(x, z)», т. е. «Dem(k, sub(n, 13, n)» должна быть истинной арифметической формулой. Можно, однако, показать, что это арифметическое отношение обладает тем свойством, что если оно имеет место для каких- либо двух чисел, то формула, выражающая это обстоятельство, непременно доказуема. Таким образом, формула «Dem(x, sub(n, 13, n))» не только истинна, но и формально доказуема, т. е. является теоремой. Но правила вывода элементарной логики позволяют нам немедленно вывести из этой теоремы формулу «~ ∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))». Таким образом, мы вывели из доказуемости формулы G доказуемость ее формального отрицания. Значит, если наша формальная система непротиворечива, то G в ней недоказуема.

Чтобы показать, что доказуемость ~ G влечет доказуемость G, требуется аналогичное, но несколько более громоздкое рассуждение, которое мы не будем пытаться здесь воспроизводить.

Как мы уже отмечали, если и некоторая формула, и ее отрицание выводимы из некоторой системы аксиом, то эта система противоречива (несовместна). Поэтому если аксиомы формализованной системы арифметики совместимы, то ни G, ни ее отрицание не могут быть доказуемыми. Иначе говоря, если наши аксиомы непротиворечивы, то G формально неразрешима в том точном смысле, что ни G, ни ~ G не выводимы из арифметических аксиом.

3. Важность предыдущего заключения не сразу бросается в глаза. Что особенного — можно было бы задать вопрос — в том, что некоторая формула, сформулированная на арифметическом языке, оказалась неразрешимой? Но приходится признать, что из этого результата действительно вытекают чрезвычайно важные выводы. Все дело в том, что, хотя формула G и является недоказуемой, можно, как выясняется, чисто метаматематическим рассуждением установить ее истинность. Иными словами, удается показать, что формула G выражает некоторое (довольно-таки громоздко выражаемое, но тем не менее вполне определенное) свойство, с необходимостью принадлежащее всем натуральным числам (аналогично, скажем, свойству, выражаемому гораздо более простой формулой «∀ x ~ (x + 3 = 2)», интерпретируемой обычно как утверждение, что никакое натуральное число, сложенное с числом 3, не дает в сумме 2).

Приведем здесь рассуждение, устанавливающее истинность формулы G. Во-первых, в предположении непротиворечивости арифметики можно доказать, что метаматематическое утверждение

«формула „∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))“ недоказуема»

истинно. Во-вторых, такое утверждение представляется (выражается) в арифметике той самой формулой, которая в нем упоминается. В-третьих, мы вспоминаем, что истинным метаматическим утверждениям при осуществляемом посредством гёделевской нумерации отображении их в арифметику соответствуют истинные же арифметические формулы. (Именно это обстоятельство обусловливает всю плодотворность такого отображения; ситуация здесь совершенно та же, что в аналитической геометрии, где координатное «кодирование» обеспечивает перевод истинных геометрических высказываний в истинные алгебраические высказывания.) Отсюда и вытекает, что формула G, соответствующая истинному метаматематическому высказыванию, сама должна быть истинной. Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что истинность арифметического высказывания установлена нами отнюдь не формальным выводом выражающей его формулы из аксиом, а посредством некоторого метаматематического рассуждения.

4. Теперь нам придется напомнить читателю понятие «полноты», введенное нами в заключение раздела, посвященного исчислению высказываний. Мы назвали тогда систему аксиом полной, если любое истинное предложение, выражаемое на языке данной системы, можно из них вывести. В противном случае (т. е. если не каждое истинное предложение, выразимое в данной системе, выводится из ее аксиом) система аксиом «неполна». Но мы только что как раз и установили, что G есть истинная арифметическая формула, не выводимая из арифметических аксиом, иными словами, система аксиом арифметики неполна (разумеется, в предположении непротиворечивости этой системы аксиом), более того, формальная арифметика существенно неполна: даже если добавить к ней формулу G в качестве новой аксиомы, расширенная система аксиом будет все равно недостаточна для формального вывода всех арифметических истин. Дело в том, что по отношению к пополненной таким образом системе аксиом мы можем провести в точности то же рассуждение, что и раньше, и та же конструкция даст нам новый пример предложения, истинного в расширенной арифметической системе, но не выводимого из ее аксиом, и такое предложение будет снова выражаться неразрешимой арифметической формулой. И этот поистине удивительный вывод остается в силе независимо от того, сколько раз мы ни производили бы такое расширение системы. Таким образом, мы вынуждены признать некоторую принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода. Вопреки, казалось бы, самым естественным ожиданиям, запас арифметических истин оказывается столь обширным, что ни из никакой точно зафиксированной системы аксиом не удается их все формально вывести.

5. Мы подошли теперь к месту, которое можно назвать кодой это поразительной интеллектуальной симфонии — творения Гёделя. Описанные выше шаги позволили обосновать метаматематическое утверждение «если арифметика непротиворечива, то она неполна». Но Гёделю удалось доказать и нечто большее, а именно, что само условное метаматематическое утверждение (именно все утверждение в целом) изображается в формализованной арифметике некоторой доказуемой формулой.

Построить такую замечательную формулу нам будет теперь совсем нетрудно. Мы уже говорили выше (в разделе 5), что метаматематическое высказывание «арифметика непротиворечива» эквивалентно высказыванию «существует хода бы одна недоказуемая арифметическая формула». Последнее же высказывание, очевидно, представляемся в формальном (арифметическом) исчислении следующей формулой:

Ǝ y ∀ x ~ Dem(x, y). (А)

Формула эта, если выразить ее словесно, гласит: «существует по крайней мере одно натуральное число у, такое что для любого натурального x числа x и у не находятся между собой в отношении Dem». Если же интерпретировать формулу как метаматематическое высказывание, то мы получим: «существует по крайней мере одна арифметическая формула, для которой никакая последовательность формул не является ее доказательством». Таким образом, формула А как раз и представляет посылку метаматематического утверждения «Если арифметика непротиворечива, то она неполна». В то же время заключение утверждения «Она (т. е. арифметика) неполна» непосредственно вытекает из высказывания «имеется истинное арифметическое утверждение, не являющееся формально доказуемым в арифметике»; последнее же высказывание представляется в арифметическом исчислении посредством нашей старой знакомой — формулы G. Итак, условное метаматематическое высказывание «Если арифметика непротиворечива, то она неполна» представимо формулой

Ǝ у ∀ x ~ Dem(x, y) ﬤ ∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n)),

которую можно было бы теперь сокращенно обозначить через «AG». Именно для этой формулы можно установить ее формальную доказуемость, но мы не будем здесь пытаться это делать.

Покажем лишь, что формула А недоказуема. Допустим противное. Тогда, поскольку формула AG доказуема, modus ponens позволяет нам заключить, что доказуемой должна бы быть и формула G. Но если наше исчисление непротиворечиво, G формально неразрешима, а потому, конечно, недоказуема. Таким образом, если арифметика непротиворечива, то формула А недоказуема.


Эрнст Нагель читать все книги автора по порядку

Эрнст Нагель - все книги автора в одном месте читать по порядку полные версии на сайте онлайн библиотеки My-Library.Info.


Teopeма Гёделя отзывы

Отзывы читателей о книге Teopeма Гёделя, автор: Эрнст Нагель. Читайте комментарии и мнения людей о произведении.

Прокомментировать
Подтвердите что вы не робот:*
Подтвердите что вы не робот:*
Все материалы на сайте размещаются его пользователями.
Администратор сайта не несёт ответственности за действия пользователей сайта..
Вы можете направить вашу жалобу на почту librarybook.ru@gmail.com или заполнить форму обратной связи.