И та и другая теорема (разумеется, в теоремы я включаю не только формулировки, но и доказательства) отличаются весьма высокой степенью неожиданности в сочетании с непреложностью и экономичностью. Доказательства необычны и удивительны по форме; используемые инструменты кажутся по-детски простыми по сравнению с далеко идущими результатами, но все заключения с необходимостью вытекают из теоремы. Детали не загромождают основную линию доказательства - в каждом случае достаточно атаковать только в одном направлении. То же самое относится и к доказательству многих гораздо более трудных теорем. Чтобы оценить их по достоинству, требуются весьма основательные познания в математике. "Многовариантность" доказательства математической теоремы отнюдь не требуется: перечисление всех случаев - одна из наиболее скучных форм математического доказательства. Математическое доказательство должно напоминать созвездие с ясными и чёткими очертаниями, а не скопление звёзд с размытыми границами в Млечном Пути.
Шахматная задача также обладает неожиданностью и определённой экономичностью. Существенно, чтобы ход был неожиданным и чтобы каждая фигура на шахматной доске играла свою роль. Но эстетический эффект обладает кумулятивным действием. Существенно также (если только шахматная задача не слишком проста для того, чтобы быть по-настоящему занимательной), чтобы ходы, следующие за ключевым ходом, допускали много вариаций, каждая из которых требовала бы своего индивидуального ответа. "Если белые делают ход пешкой на b5, то чёрные отвечают ходом коня на e6, если ..., то ..., если ..., то...". Эффект был бы испорчен, не будь у игроков на каждый ход противника так много различных вариантов ответных ходов. Всё это самая настоящая математика и имеет она свои достоинства, но шахматные доказательства принадлежат к числу тех самых доказательств путём перечисления всех мыслимых случаев, которые по существу отличаются друг от друга не так уж сильно(15), к которым в настоящей математике принято относиться с презрением.
Я склонен думать, что мог бы усилить свою аргументацию, апеллируя к чувствам самих шахматистов. Не подлежит сомнению, что шахматный мастер, участник выдающихся партий и матчей, в глубине души с презрением относится к чисто математическому искусству шахматного задачерешателя. У настоящего шахматного мастера всегда есть немало в резерве, из которого он может почерпнуть нужный ход в случае необходимости: "если мой оппонент сделает такой-то ход, то я смогу парировать его такой-то выигрышной комбинацией". Но выдающаяся шахматная партия представляет собой главным образом психологический поединок, конфликт между одним тренированным интеллектом и другим, а не только коллекцию небольших математических теорем.
Мне необходимо вернуться к моей оксфордской апологии и рассмотреть немного более внимательно некоторые из пунктов, которые я отложил в §6. Теперь уже очевидно, что математика интересует меня только как искусство, как вид творческой деятельности. Но следует рассмотреть и другие вопросы, в частности, вопрос о "полезности" (или бесполезности) математики, по поводу которого существует много неясности. Нам необходимо также обсудить, так ли "безвредна" математика в действительности, как я утверждал в своей оксфордской лекции.
Науку или искусство принято считать "полезными", если они, хотя бы косвенно, увеличивают материальное благосостояние и комфорт людей, или способствуют их счастью, если воспользоваться этим словом в его примитивном обыденном смысле. Например, медицина и физиология полезны, так как они исцеляют страдания, инженерное дело полезно, так как оно помогает нам возводить дома и мосты и тем самым способствует повышению уровня жизни (разумеется, инженерное дело также причиняет и вред, но сейчас речь идёт не об этом). В этом смысле какая-то часть математики несомненно полезна. Инженеры не могли бы справляться со своей работой без хорошего "работающего" знания математики, и математика начинает находить приложение даже в физиологии. Таким образом, здесь мы находим почву для защиты математики. Возможно, это не лучшая и даже не особенно сильная защита, но нам необходимо её изучить. Более "благородные" приложения математики, если таковые существуют, приложения, разделяемые математикой со всеми видами творческой деятельности, для нашего анализа несущественны. Подобно поэзии или музыке, математика может способствовать "развитию и поддержанию возможной привычки ума" и тем самым увеличивать счастье математиков и даже нематематиков, но защита математики на этом основании означала бы повторение того, что я уже сказал. То, что нам необходимо проанализировать сейчас, - "грубая" польза от математики.
Всё это может показаться вполне очевидным, но даже здесь нередко бывает много путаницы, так как самыми "полезными" предметами обычно бывают те, изучать которые для большинства из нас особенно бесполезно. Полезно иметь в обществе адекватное количество физиологов и инженеров, но для обычных людей изучение физиологии или инженерного дела - не самые полезные занятия (хотя изучение этих предметов можно отстаивать, исходя из других оснований). Со своей стороны должен заметить, что никогда не оказывался в положении, когда бы научные знания, которыми я обладаю помимо чистой математики, давали бы мне малейшее преимущество.
Действительно, просто поразительно, какую малую практическую ценность имеет научное знание для обычных людей, как скучны и обыденны те фрагменты научного знания, которые имеют практическую ценность, и как практическая ценность научного знания почти обратна его предполагаемой полезности. Полезно уметь терпимо быстро производить арифметические вычисления (арифметика, несомненно, принадлежит к чистой математике). Полезно немного знать французский или немецкий язык, немного разбираться в истории и географии, возможно, даже в экономике. Что же касается химии, физики или физиологии, то скромные познания в этих науках не имеют вообще никакой ценности в обыденной жизни. Мы знаем, что газ горит, хотя его состав нам не известен; если ломается наша автомашина, то мы отправляем её в авторемонтную мастерскую; если у кого-нибудь из нас болит живот, то мы обращаемся к врачу или идём в аптеку. Мы полагаемся либо на здравый смысл и практический опыт, либо на профессиональные познания других людей.
Кроме того, полезность той или иной науки имеет побочный интерес, относящийся к педагогике и составляющий предмет забот директоров частных школ, которым необходимо давать рекомендации родителям, с пеной у рта требующих "полезного" образования для своих сыновей. Разумеется, мы отнюдь не имеем в виду, что если физиология является полезной, то большинство людей должно изучать физиологию. Смысл сказанного нами состоит в другом: развитие физиологии усилиями экспертов будет способствовать повышению комфортности большинства людей. Вопрос, представляющий интерес для нас сейчас, заключается в том, в какой мере математика может претендовать на полезность такого рода, какие разделы математики особенно сильно претендуют на полезность, и насколько интенсивное изучение математики может быть обосновано только из соображений полезности.
Возможно, уже стало очевидным, к каким заключениям я прихожу, поэтому мне хотелось бы сформулировать их сначала догматически, а затем рассмотреть несколько подробнее. Не подлежит сомнению, что значительная часть элементарной математики (я употребляю это слово в том смысле, в каком его используют профессиональные математики, - при таком понимании элементарная математика включает в себя, например, уверенное рабочее владение дифференциальным и интегральным исчислениями) обладает значительной практической полезностью. В целом эти разделы математики очень скучны; это те самые разделы, которые обладают наименьшей эстетической ценностью. "Настоящая" математика "настоящих" математиков, математика Ферма, Эйлера[121], Гаусса, Абеля и Римана, почти полностью "бесполезна" (это верно как в отношении "прикладной", так и в отношении "чистой" математики). Жизнь любого настоящего профессионального математика невозможно оправдать на основании одной лишь "полезности" его трудов.
Здесь мне необходимо коснуться одного заблуждения. Иногда выказывается мнение, что чистые математики приписывают себе в хвалу бесполезность своих трудов(16) и даже хвастаются тем, что эти труды не имеют практических приложений. Такое обвинение обычно исходит из неосторожного высказывания, приписываемого Гауссу, который якобы сказал, что если математика - царица наук, то теория чисел в силу своей абсолютной бесполезности - царица математики. Точную цитату мне так и не удалось найти. Я уверен, что высказывание Гаусса (если он когда-либо высказывал нечто подобное) весьма грубо искажается. Если бы теорию чисел можно было использовать для любой практической и явно почтенной цели, если бы её можно было непосредственно направить на достижение человеческого счастья или утоления человеческих страданий, как в случае физиологии или даже химии, то не подлежит сомнению, что ни Гаусс, ни какой-либо другой математик не были бы столь глупы, чтобы приуменьшать такие приложения или сожалеть о них. Но наука работает как во зло, так и на пользу (особенно во время войны). И Гаусса, и математиков меньшего ранга можно оправдать в их радости по поводу того, что существует по крайней мере одна наука (и это та самая наука, которой они занимаются), чью удаленность от обычной человеческой деятельности во всех её проявлениях необходимо блюсти в чистоте и неприкосновенности.
