* * *
Отложим два единичных отрезка вправо по оси ОХ и один — вверх по оси OY.
Мы можем посчитать расстояние ОА по теореме Пифагора, (ОА)2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5, следовательно, ОА = √5. Это число называется модулем комплексного числа.
Геометрическое представление комплексных чисел было большим шагом вперед.
Теперь их можно было использовать в математическом анализе функций комплексного переменного.
Дополнительное измерение
Глаз специалиста может увидеть дополнительную информацию в графическом представлении функции. На самом деле эти графики можно рассматривать как произведения искусства. Лорд Кельвин однажды сказал: «Одна-единственная кривая, вычерченная наподобие кривой цен на хлопок, описывает все, что может услышать ухо.
Это, по-моему, является прекрасным доказательством могущества математики».
Мы уже видели в третьей главе, что можно определить функции, которые каждому действительному числу ставят в соответствие другое действительное число. Аналогично мы можем определить функции, которые действительное число ставят в соответствие паре действительных чисел.
Например:
(х, у) — > х2 + у2.
Соответствующая таблица будет выглядеть так:
Чтобы изобразить график такой функции, мы должны взять трехмерное пространство, в котором, например, точка (1, 2, 5) находится от точки плоскости (1, 2) на расстоянии пяти единичных отрезков вдоль третьей оси (OZ), перпендикулярной к плоскости OXY
И функция f(х, у) = х2 + у2 будет представлена следующим образом:
В XIX в. теория функций продвинулась достаточно далеко, чтобы работать с такими графиками. Однако возникла новая задача: как использовать комплексные числа в качестве переменных? Этот шаг имел решающее значение для теории простых чисел.
Гаусс уже использовал функции комплексного переменного, изображая их в трехмерном пространстве. Как мы увидим в следующей главе, Риман пошел еще дальше и определил комплексные функции комплексного переменного. В пространственных графиках, которые мы видели до сих пор, два числа соответствовали третьему. Точка на плоскости порождала образ вдоль третьей оси, что требует трехмерного пространства. Предположим теперь, что образом точки с двумя координатами будет также точка с двумя координатами. Другими словами, нам нужно еще одно измерение для построения графика такой функции, то есть нам нужно четырехмерное пространство. Визуализация объектов в четырех измерениях возможна лишь в научной фантастике. Таким образом, у нас нет выбора, кроме как использовать некоторые трюки, чтобы получить представление о форме графика рассматриваемой функции.
Одной из возможностей является изучение проекций на трехмерное пространство аналогично изучению тени. Чтобы понять эту аналогию, представим себе, что мы живем в двумерном пространстве, то есть мы совершенно плоские, и мы пытаемся определить форму трехмерного объекта. Проекцией объекта на плоскость является его тень при освещении прожектором. Возможно, одной тени недостаточно, и нам потребуются еще две или три проекции. Например, цилиндр, подвешенный в воздухе внутри помещения, отбрасывает тень в виде прямоугольника на одну из стен: это может дать нам неправильное представление о его форме. Мы можем подумать, что это прямоугольный параллелепипед, который будет отбрасывать такую же тень. Однако если мы посмотрим на тень на полу, то увидим, что она имеет форму круга. Тогда мы поймем, что объект является цилиндром. Проблема заключается в том, что, будучи двумерными существами, мы никогда не сможем увидеть трехмерный цилиндр.
С другой стороны, тени могут быть очень обманчивы, или их не так уж легко можно интерпретировать. Например, рассмотрим объект, который при освещении справа отбрасывает тень в форме круга. При освещении снизу его тень будет треугольная, а при освещении сверху — прямоугольная. Существует ли такой трехмерный объект? Если да, то он может иметь очень странную форму!
Возникает вопрос: существует ли связь между различными проекциями объекта, которая позволяет определить его трехмерную форму? Ответ был дан в 1986 г. Кеном Фалконером, преподавателем математики Сент-Эндрюсского университета. Его теорема гласит: нет, в общем случае никакой связи нет.
Что же нам делать, если мы хотим знать, какую форму имеет объект в четырехмерном пространстве? Мы никогда не сможем увидеть его точную форму, потому что даже если бы мы могли изобразить его, у нас нет возможности его воспринимать. Однако существуют аналитические методы определения некоторых геометрических характеристик объекта.
Возвращаясь к примеру, в котором мы были двумерными существами, покажем методы, с помощью которых такие существа могут определить, как выглядит сфера. Идея заключается в том, чтобы рассмотреть сечения сферы при пересечении ее с плоскостью, в которой мы живем и из которой мы эту сферу наблюдаем. Когда сфера просто касается нашей плоскости, мы видим лишь точку. Потом появляются концентрические круги, которые по мере прохождения сферы через плоскость сначала расширяются, а потом сужаются, пока снова не превратятся в точку.
Следует подчеркнуть, что в этом примере мы четко представляем ситуацию, потому что мы в состоянии воспринимать трехмерные объекты, чего нельзя сказать о нашем восприятии объектов в четырехмерном пространстве. Тем не менее, пример иллюстрирует то, что происходит в месте пересечения объекта и нашей плоскости. Этот момент очень важен, поскольку он тесно связан с так называемыми нулями функции.
Например, выражение — (5x/2) + 5 = 0 можно легко превратить в функцию, записав в виде:
γ = — (5x/2) + 5
Если мы построим ее график, то получим прямую линию. Точка пересечения этой линии с горизонтальной осью (х = 2) является решением уравнения у = 0:
Аналогично если у нас есть квадратное уравнение х2 + х — 2 = 0 и мы построим график функции f(x) = х2 + х — 2, то увидим, что он пересекает ось X (у = 0) в двух точках, которые являются решением уравнения: х = 1 и х = —2.
Если мы обобщим задачу на три измерения, то, например, уравнение х2 + у2 — 4 = 0 представляется функцией f(х, у) = х2 + у2 — 4, графиком которой является параболоид. Его пересечение с плоскостью XY дает окружность с радиусом 2, как видно на рисунке на следующей странице. Все точки этой окружности являются решением нашего уравнения.
* * *
КУЛЬТУРНОЕ НАСЛЕДИЕ
Если бы мы дали такое определение: «Функция — это количество, состоящее из переменной и произвольных постоянных», мы бы вряд ли сдали экзамен по элементарной математике, так как такое определение показывает, что у нас нет ясного представления о функции. Однако эта фраза почти дословно встречается в одном из сочинений величайшего математика XVIII в. Якоба Бернулли. На самом деле формулировка определения функции — не такая уж простая задача, с чем согласится любой школьник. Этот факт свидетельствует о чрезвычайной ценности математики как культурного наследия.
* * *
Таким образом, когда мы используем описанный выше трюк, чтобы «увидеть» форму четырехмерного объекта, на самом деле мы хотим лишь получить четкое представление о том, как четырехмерный объект пересекается с трехмерным пространством. Это не даст нам точного представления о форме — да мы и знаем, что для нас это невозможно, — но это даст нам решения соответствующего уравнения.
И, как мы увидим в следующей главе, это именно то, что предложил Риман, когда анализировал дзета-функцию, которая в конечном итоге поможет навести порядок во множестве простых чисел.
Глава 6
Две стороны медали
Немецкий математик Бернхард Риман (1826–1866) был образцом математической строгости, а индиец Сриниваса Рамануджан (1887–1920) является примером торжества чистейшей интуиции. Они оба занимались простыми числами, и оба имели успехи и неудачи. В любом случае, их жизнь и научная деятельность ярко иллюстрируют два типа математической гениальности.
Бернхард РиманРиман был задающим ритм музыкантом, которому аплодирует публика, состоящая из простых чисел. Однако его ритм был очень сложен. Научные открытия, особенно в области математики, во многом зависят от уже разведанной территории, от уже известных знаний. Первооткрыватель становится кем-то вроде горного проводника. Когда просто бродишь по миру чисел, важно не потерять направления, но совсем другое дело — начать восхождение. Такие походы требуют больших усилий, и продвигаться нужно более медленными темпами, чтобы восхождение было не слишком утомительным. Однако наступает момент, когда для дальнейшего восхождения требуется определенная подготовка и соответствующее оборудование.
