Учитывая вышесказанное, чтобы изобразить сетку меридианов и параллелей на карте, выполненной в полярной азимутальной проекции, нужно определить центр проекции (Северный или Южный полюс), провести ряд равномерно распределенных прямых, проходящих через центр карты, которые будут соответствовать меридианам, а затем изобразить ряд концентрических окружностей, которые будут обозначать параллели. Следовательно, необходимо определить, на каком расстоянии друг от друга должны располагаться эти окружности. Мы можем вычислить это расстояние, например, для гномонической проекции.
Выберем в качестве точки отсчета Южный полюс. Для данной точки А широтой φ и ее отображения А' определены два подобных прямоугольных треугольника, как показано на рисунке выше. Длины катетов малого треугольника таковы (напоминаем, что здесь φ принимает отрицательные значения):
Длины катетов большого треугольника равны R и r(φ) — расстояние от точки А' до центра. По теореме Фалеса имеем:
откуда
Следовательно, теперь мы можем изобразить сетку меридианов и параллелей центральной проекции.
Использование карт, выполненных в гномонической проекции
Как мы уже отмечали, центральная проекция не подходит для составления карт мира, но часто используется при составлении карт полярных регионов. Чтобы изобразить на такой карте весь мир, потребовалась бы двойная круговая карта, на каждой половине которой было бы представлено по одному полушарию. Однако изобразить на каждой половине карты полушарие целиком невозможно. Более того, по мере удаления от центра карты и увеличения охватываемой территории искажения расстояний, площадей и форм растут — это заметно на любой карте, выполненной в гномонической проекции. Однако для углового расстояния менее 30°, считая от точки касания, карта в этой проекции будет достаточно точной.
Несмотря на вышесказанное, гномоническая проекция неоднократно использовалась при составлении карт больших участков земной поверхности. Например, в 1844 году Обществом распространения полезных знаний Великобритании (SDUK) был опубликован атлас карт в двух томах. Планировалось, что этот недорогой атлас будет использоваться в образовательных целях. В издании гномоническая проекция применялась при составлении карт звездного неба и в шести картах, охватывающих весь земной шар (Африка и Средиземноморье, Америка, Азия и часть Австралии, Океания и полюса). Эти шесть карт соответствовали шести граням куба, в который был вписан земной шар. Далее были построены проекции земного шара на грани этого куба с центром проекций в центр сферы. Другой пример атласа мира из шести карт, составленных аналогичным образом, был издан в Веймаре в 1803 году картографом Христианом Готтлибом Рейхардом (1758–1837). Сам математик Огастес де Морган в 1836 году опубликовал книгу с длинным и не требующим дополнительных пояснений названием «Объяснение гномонической проекции сферы и тех аспектов астрономии, что наиболее необходимы при использовании астрономических карт, и описание построения и использования больших и малых карт звездного неба, равно как и шести карт Земли».
Можно составить карту мира, спроецировав сферическую модель Земли на описанный вокруг нее куб с помощью гномонической проекции, а затем развернув этот куб на плоскости.
Как бы то ни было, важнейшее свойство гномонической проекции, которое делает ее незаменимой в навигации, заключается в сохранении геодезических линий, то есть ортодромы сферы на плоскости карты изображаются прямыми линиями. Если, например, капитану корабля или пилоту самолета потребуется определить кратчайший путь между двумя точками нашей планеты, ему достаточно будет взять карту, выполненную в гномонической проекции, и провести прямую, соединяющую выбранные точки. Морские карты в гномонической проекции можно увидеть в любом магазине и на любом интернет-сайте, посвященном навигационным картам.
Гидрографическая служба США использовала гномоническую проекцию при создании подобных карт всех океанов. Ее примеру при составлении карт следуют гидрографические службы многих других стран, а в учебниках по навигации объясняются методы прокладки курса «вдоль больших кругов» и алгоритмы расчета расстояний по навигационным картам в гномонической проекции.
Карты для морской и воздушной навигации должны обладать двумя основными свойствами: во-первых, ортодромы должны быть представлены в виде прямых линий, во-вторых, на карте должны сохраняться углы и румбы. Именно поэтому задача о создании идеальной карты, сохраняющей все метрические свойства, так важна для навигации. Как вы увидите в следующей главе, в отсутствие точной карты Земли моряки одновременно используют карту в гномонической проекции и карту в проекции Меркатора — она является конформной, а кривые, пересекающие все меридианы под постоянным углом (локсодромы), изображаются на ней прямыми линиями. Благодаря тому что большие круги сферы изображаются в виде прямых, центральная проекция применяется в минералогии и сейсмологии, так как сейсмические волны распространяются вдоль больших кругов, подобно радиоволнам. Карты, выполненные в центральной проекции, также используют радисты кораблей, а подобные карты звездного неба применяются при наблюдении метеоритов, которые также движутся вдоль больших кругов.
Хотя гномоническая проекция — одна из самых древних, в эпоху Возрождения она использовалась редко и вновь стала популярной в начале XVII века, особенно при составлении карт звездного неба. Немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) при составлении карты звездного неба в 1606 году применил экваториальную разновидность этой проекции; австрийский астроном Кристоф Гринбергер (1561–1636) использовал различные варианты этой проекции в своем атласе созвездий 1616 года, а итальянский математик и астроном Орацио Грасси (1583–1654) — в картах звездного неба в 1618 году. С этого времени гномоническая проекция стала одной из самых популярных при составлении карт звездного неба: звезды, которые располагались на большом круге небесной сферы, а визуально находились на одной прямой, в этой проекции изображались на одной линии. Определять местоположение звезд и изучать звездное небо по таким картам было проще.
Центральная проекция чаще остальных использовалась при изготовлении многогранных карт и их разновидностей. Для этого земной шар (сферическая модель Земли) вписывается в многогранник, а затем проецируется на поверхности его граней. В случае с простой гномонической проекцией центр проекции совпадает с центром сферы. Таким образом получается изображение Земли на плоских гранях многогранника. Далее можно либо рассмотреть карту в форме многогранника, либо развернуть ее на плоскости. В многогранных картах чаще всего используются Платоновы тела (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), гранями которых являются равные между собой правильные многоугольники, однако могут применяться и такие фигуры, как усеченный октаэдр, кубооктаэдр и другие. Искажения на таких картах возрастают по мере приближения к вершинам и ребрам и уменьшаются вблизи центров граней — точек касания сферы и многогранника. В качестве примеров многогранных карт, выполненных в гномонической проекции, можно привести шесть граней карты Рейхарда или карты Общества распространения полезных знаний Великобритании, карту Кэхилла в форме бабочки (1909), которая представляет собой развернутый на плоскости октаэдр, или карту Димаксион, созданную американским дизайнером и архитектором Ричардом Бакминстером Фуллером. Проекция Фуллера представляет собой разновидность проекции на икосаэдр, и о ней мы поговорим в главе 9.
Восьмигранная карта Кэхилла в форме бабочки, выполненная путем гномонической проекции сферической модели Земли на грани октаэдра. Если сложить октаэдр заново, получится восьмигранная модель Земли.
* * *
КАРТЫ ЗВЕЗДНОГО НЕБА, ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Помимо карт земной поверхности, существуют и другие карты, игравшие важную роль на протяжении всей истории человечества. Речь идет о картах звездного неба, начиная от составленных в Древнем Китае, Индии, Месопотамии и Египте и до европейских. В XVII и XVIII веке в Европе издавалось множество атласов звездного неба. Созвездия при этом изображались в виде героев греческой мифологии, реальных и фантастических животных и различных предметов. В ту эпоху небо имело большое значение в европейской культуре, причем не только в навигации, но и в астрологии, которой зарабатывали себе на жизнь многие астрономы.
