Множество студентов университета «включено» в множество студентов страны. То есть множество студентов университета «есть подмножество» множества студентов страны.
Тем, кто не сломал при этом язык, ясно, что множество студентов страны «включено» во всемирное множество студентов.
Можно продолжить эту цепочку включений, прихватив галактику. Но тогда следует, что множество студентов университета есть подмножество множества студентов галактики.
Это свойство цепочек просто и строго(!) доказывается прямо на основании того, как мы определили отношение включения.
У отношения включения есть ряд любопытных свойств. Не нами придуманных. Они могут быть обнаружены любым исследователем, если он «поиграет» с этим отношением.
Например, можно сказать, что множество студентов группы ух-001 включено в множество студентов университета, поскольку такая группа в университете числится. То, что из группы отчислены все студенты, для математики никакой роли не играет. Поскольку, НЕТ ни одного студента, числящегося в этой группе, который бы не числился в университете. Такого рода рассуждения совершенно корректно можно применить к любым пустым множества и сделать обобщающий вывод, что пустое множество включено в любое множество, в том числе и в себя.
Оцените математическую красоту фразы:
Любой элемент, принадлежащий множеству, не содержащему ни одного элемента, принадлежит и любому другому множеству, которое не содержит ни одного элемента.
Чуть менее красива фраза:
Любое множество является собственным подмножеством.
Или то же самое, но более жестоко:
Любое множество включено само в себя.
Действительно, группа ух-002 (в которой, вполне возможно, есть студенты) включена в группу ух-002, поскольку все студенты, которые в ней числятся по-прежнему числятся в ней, даже если ее название ух-002 упоминается несколько раз.
Из последнего примера можно сделать важный вывод. Если два множества (возможно на первый взгляд различные, вроде множества чиновников и множества слуг народа) включены друг в друга, то эти множества равны – то есть состоят из одних и тех же элементов.
Можно сказать чуть иначе: Если два множества являются подмножествами друг друга, то они состоят из одних и тех же элементов.
А как же иначе?!…
Правда, есть математики-диссиденты, которые это не признают. Но это скорее уже вопрос веры… другой математической конфессии…
А теперь следует признать, что математики сродни той категории больных людей, которых называют «правдоискателями». Как правило искатели (социальной) правды правы. Но их правота или бессмысленна, или нереальна, а главное, никому кроме них не нужна… Так вот и в теории множеств часто можно найти правду, которая для посторонних людей может выглядеть, мягко выражаясь, странной и вредной.
Например, студент Хведоров не может быть подмножеством студентов университета, поскольку он сам не множество, а элемент. Поэтому он, как элемент, может быть лишь элементом множества студентов университета. А вот группа ух-003, как множество студентов, есть полноправное подмножество множества студентов университета. Но группа ух-003 состоит всего лишь из одного неотчисленного студента. Того самого Хведорова! Вот и получается, что сам Хведоров не может быть подмножеством, но группа, состоящая из него одного, может.
С другой стороны, если вдруг ректор решит рассматривать университет, как множество студенческих групп, то группа ух-003 станет элементом множества студенческих групп университета. Тут ничего страшного, если понимать, что множество студентов университета и множество студенческих групп университета – два разных множества.
Впрочем, нас бюрократическими закорючками не удивишь мы и не такое в жизни видим каждый день…
Но, все-таки, теории множеств есть чем удивить даже нас. Это, так называемые парадоксы теории множеств – одно из потрясений первого года прошлого столетия для узкого круга людей.
Поясним на знаменитом примере про брадобрея.
Правитель (вроде Петра I) повелел единственному брадобрею в своем царстве-государстве брить всех тех и только тех, кто не бреется сам. А наказание за ослушание – казнь. Вот брадобрей и бросился брить всех небритых. В конце-концов дошло до того, что он сам зарос бородой… Он взял бритву. Но если он начнет бриться, значит он бреется сам, а таких он брить не имеет права.
Отложив бритву, он понял, что он сам не бреется. Значит он должен взять бритву и… И что?! А ничего хорошего! Казнят бедолагу за нарушение приказа в любом случае!
С точки зрения теории множеств брадобрей в данном случае не смог определиться с (фундаментальным!) отношением принадлежности: включать или не включать себя самого в множество тех, кто не бреется сам.
То есть в основе теории множеств, которая претендует на роль фундамента ВСЕЙ математики, начальное базовое отношение принадлежности выкидывает такие фортеля, которые просто не позволяют создать некоторые из множеств!… Математики приняли единственное разумное решение: Договорились не создавать в рамках теории множеств такие множества, которые нельзя создать!
То есть теория множеств оперирует со всеми множествами, кроме тех, которые нельзя создать. Все эти множества, об'единенные в одно множество, называются УНИВЕРСУМОМ.
Лекция 2. БЕСКОНЕЧНОСТЬ БЫВАЕТ РАЗНАЯ
Самое интересное в теории множеств то, что она рассматривает не только конечные множества – множества, содержащие конечное число элементов, но и бесконечные, для которых даже понятие числа бессмысленно. То есть, теория множеств может рассматривать не только множество студентов в группе и множество березок в лесу, но и множество точек на прямой, и множество звезд на небе…
Основоположник теории множеств Георг Кантор именно из-за бесконечности попортил себе много крови, да так крепко попортил, что пришлось подключаться врачам-психиатрам. Хотя с бесконечностью математики до него уже давным-давно работали. Взять то же бесконечно большое множество точек на прямой или наоборот, бесконечно малые величины из высшей математики…
Но вся беда в том, что ни один живой человек не видел, не слышал, не щупал бесконечности! Поэтому до Кантора математики признавали и использовали так называемую ПОТЕНЦИАЛЬНУЮ бесконечность. Самый кондовый пример – это понятие бесконечно большого числа в высшей математике. Бесконечно большое число это число, которое больше любого наперед заданного. Если человек не понимает, о чем речь, то его просят назвать самое большое число в мире!… Образованный человек обычно называет число миллиардмиллиардов. А ему об'ясняют, что бесконечно большое число больше этого числа – «даже больше чем на еще миллиардмиллиардов».
То есть у нас с вами всегда в запасе есть число потенциально(!) большее, чем придумает эрудит…
Кантор же позволил себе в математике АКТУАЛЬНУЮ бесконечность. То есть то, что до этого могли позволить себе лишь поэты, с которых, как известно, никто строго не спросит… «звездам числа нет, бездне дна». Поэты не любят, чтобы по крохам, по каплям… Любят, чтоб сразу! "Вот она, ВСЯ бездна вашего падения!… Дарю тебе ВСЕ звезды – такой ничтожной малости, для тебя моя, бесценная-единственная, не жалко!"… То есть по Кантору бесконечность существует сразу вся. А раз бесконечные множества есть, и сразу целиком, то с ними можно производить математические манипуляции. Их даже можно сравнивать на больше-меньше.
Поэтому Кантор начал задавать себе «поэтические» вопросы и искать на них математические ответы. Один из ключевых вопросов: "БЕСКОНЕЧНО МНОГО – это всегда ОДИНАКОВО БЕСКОНЕЧНО МНОГО? Или могут быть большие и меньшие бесконечности?"
