явным образом две системы отсчета К и К':
Рис. 2 В неподвижной инерциальной системе отсчета К часы имеют координату x, а в подвижной инерциальной системы отсчета К' по истечении времени t — координату x'.
К инерциальной системе отсчета K привязаны координатные оси XYZ, а к подвижной системе K' — координатные оси X'Y'Z'. На рисунке оси Z и Z' не показаны. В начальный момент времени t=t'=0 начала координат неподвижной системы K и движущейся системы K' (положение I) совпадают. По прошествии времени t в неподвижной системе K подвижная система K' удалилась (положение II), и расстояние между началами координат двух систем отсчета стало vt. Произведём преобразование координат неподвижной системы K в координаты движущейся системы K'. Из рисунка видно, что координата часов с точки зрения системы K' равна:
,
где 0В' и 0А' — длины отрезков на оси 0X с точки зрения движущейся системы K' (с учетом их знаков, поскольку в системе K' часы движутся в отрицательном направлении). Очевидно, что длины этих отрезков с точки зрения подвижной системы K' укорочены по отношению к их реальным размерам в неподвижном состоянии в системе K. Следовательно, чтобы вычислить их длины в подвижной системе K', мы должны воспользоваться полученным выше соотношением (3) для отрезков:
соответственно, второй отрезок:
Подставляем эти величины в исходное уравнение и получаем:
Это уравнение показывает, какую координату в системе K' будут иметь неподвижные часы, имеющие координату x в неподвижной системе K через время t движения со скоростью v.
Рассмотрим, какое время будут показывать движущиеся часы. Нам известно, что при движении они отстают от неподвижных. Видимо, чем дольше и быстрее часы движутся, тем больше они отстают. Понятно, что при этом часы удаляются от неподвижных на какое-то расстояние. Интересно, на какое? Чтобы выяснить это, рассмотрим рисунок:
Рис. 3 По истечении времени t движущиеся часы переместятся в точку с координатой x и будут показывать время t', которое будет меньше времени t в неподвижной системе отсчета К.
Движущаяся система K' переместилась из положения I в момент времени t = t' = 0 в положение II. Часы при этом показывают время t и t' соответственно, координата движущихся часов с точки зрения неподвижной системы K равна x. Преобразуем уравнение (4) следующим образом:
В последнем выражении составного равенства произведём очевидную замену vt = x:
Таким образом, по прошествии времени t движущиеся со скоростью v часы удалятся на расстояние x и будут показывать время t', и мы получаем все классические уравнения преобразований Лоренца (два последних добавляем из очевидных соображений — движения только по оси X):
Последнее и самое загадочное из трёх известных основных следствий преобразований Лоренца — относительность одновременности выведем традиционным способом. Пусть на оси X в инерциальной системе K происходят два события в точках x1, x2 в один и тот же момент времени t. Отметим моменты совершения этих событий t'1, t'2 в системе K'. Согласно полученной формуле (5) находим:
Мы видим, что t'1 не равно t'2, то есть, два события, одновременные относительно K, оказываются разновременными относительно K'. Это расхождение во времени тем больше, чем далее отстоят друг от друга с точки зрения системы K места, где они произошли:
Итак, получив уравнения, в точности совпадающие с уравнениями преобразований Лоренца в СТО, мы показали, что преобразования Лоренца и основные следствия из них можно вывести, используя единственное предположение: скорость света "c" всегда одна и та же, независимо от того, движется ИСО или покоится. Следовательно, это предположение, постулат является единственным необходимым и достаточным условием для появления преобразований Лоренца и всех следствий из них. Поэтому есть достаточные основания считать, что математика кинематического раздела СТО является элементарной математической задачей для школьников старших классов вида "Из пункта А в пункт Б выехал поезд…".
Вывод СТО из принципа относительности
Выше было показано, что для вывода всех лоренц-следствий СТО достаточно одного (второго) постулата — о постоянстве скорости света. Но существует и противоположный подход: для получения этих же следствий достаточно другого (первого) постулата — принципа относительности (равноправия всех ИСО). Причём утверждается, что принцип постоянства скорости света вообще является излишним. Однако, в процессе вывода СТО из принципа относительности неизбежно появляется параметр, который играет в уравнениях Лоренца ту же роль, что и скорость света. То есть, принципы постоянства скорости света и относительности являются всё-таки взаимосвязанными.
Покажем это, воспользовавшись в немалой степени методикой С.Степанова [1]. Запишем результирующие уравнения преобразований времени и координаты между двумя инерциальными системами отсчета в следующем виде:
Задачу будем рассматривать как чисто математическую, идеализированную. Поэтому примем, что эти преобразования координат и времени являются линейными функциями:
Коэффициенты k, m, n, p являются функциями, зависящими от относительной скорости систем отсчёта v.
Будем считать, что в начальный момент времени t=t'=0 начала координат систем совпадают x=x'=0. Координата начала подвижной системы отсчета описывается уравнением x=vt. Подставляем x'=0 и x=vt в первое уравнение и получаем:
откуда находим:
Теперь подставляем x=0 и x'=vt в оба уравнения и получаем:
после упрощения:
и затем после подстановки из второго уравнения в первое и учетом (8) получаем:
Вставляем полученные соотношения в исходные уравнения (7):
Введём обозначения (подстановки):
Введённые параметры (подстановки) являются функциями скорости, но в дальнейшем для краткости мы будем записывать их без признака функциональности — без скобок с аргументом v. С учетом этих упрощений преобразования между системами отсчёта принимают окончательный вид:
