Например:
2519 = 432 + 252 + 62 + 32.
Но доказать надо не только для квадратов, а для всех степеней. И только уже в начале двадцатого века было дано решение этой труднейшей задачи с помощью самых тонких средств математического анализа. Вот еще пример. В середине восемнадцатого века академик X. Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что всякое целое число больше трех может быть разложено на сумму не более чем трех простых
— 91 —
чисел. Задача эта оказалась до такой степени трудной, что еще в начале нашего века на международном математическом конгрессе один из видных ученых заявил, что она «превосходит силы современной математики». Оказалось, впрочем, что это не так. Основные результаты в решении этой задачи были достигнуты советским математиком Л. Г. Шнирельманом, который доказал, что, составляя суммы достаточно большого (но заранее ограниченного) числа слагаемых, каждое из которых есть простое число, можно получить все натуральные числа. Уже это было достижением, которое вызвало удивление математиков всего мира. Но, конечно, еще труднее было доказать, что для разложения четных чисел достаточно двух, а для разложения нечетных чисел — трех слагаемых, каждое из которых есть простое число. Это последнее утверждение удалось доказать замечательному советскому математику И. М. Виноградову, которому и принадлежит, таким образом, помимо ряда блестящих работ в других областях теории чисел, решение этой никому не покорявшейся проблемы Гольдбаха (для нечетных чисел; для четных метод Виноградова дает четыре слагаемых). Решение Виноградова быстро облетело весь мир и увенчало советскую математику заслуженной славой… Однако должен добавить ко всему сказанному вот еще что. Допустим, что завтра найдется гениальный математик и докажет теорему Ферма{6}. Конечно, это не будет переворотом всей математики. И возможно, что разговоров будет больше, чем дела. Все это так. Однако нельзя сомневаться в том, что методы, которыми действует математика, благодаря этому обогатятся, и даже очень. Ну вот, теперь, мой милый гость, мне кажется, что я, насколько мог, удовлетворил вашу любознательность.
— Я даже не могу выразить, до чего я вам благодарен! Мне кажется, я никогда еще не слыхал ничего такого интересного. Я всегда очень любил математику, а теперь… теперь мне кажется, что это самая интересная вещь на свете!
— Что ж, молодой человек, — ответил ему Мнимий Радиксович, приветливо улыбаясь, — я, конечно, в этом деле не судья, но возможно, что вы не так далеки от истины.
После этого Илюша и Радикс сердечно распрощались с гостеприимным хозяином и не спеша, стали спускаться с Лежандровой горки. Радикс пояснил Илюше, что горка эта называется так, но имени математика Лежандра, который высказал о теореме Ферма некоторое очень тонкое замечание.
— Как все это интересно! Что за прелесть, эти комплексные человечки! — воскликнул Илюша.
— Не забудь, однако, — заметил Радикс, — что все это довольно трудно. Мир этих человечков отличается рядом свое-
— 92 —
образных и неожиданных особенностей, которые не так-то просто изучить. А без такого изучения ты от них не многого добьешься!
— Пусть трудно, но, по-моему, лучше заниматься трудным делом, только чтобы оно было интересное. Ты как думаешь?
— Точно! — сказал Радикс.
— Вот бы, — сказал мечтательно Илюша, — мне все это выучить, стать математиком и доказать эту теорему!..
Услыхав это, Радикс посмотрел на Илюшу так странно и пристально, что Илюше на минутку стало не по себе. Радикс смотрел на него не отрываясь. Илюша хотел было спросить, чего это он на него так уставился, как вдруг что-то громко ухнуло сзади, точно громадная хлопушка, и Радикс со страшной быстротой полетел вверх. Илюша не успел и ахнуть, как все, что было вокруг него, тоже понеслось вслед за Радиксом ввысь. И тут только Илюша сообразил, что это он сам куда-то провалился и падает с ужасной скоростью. В ушах у него свистело, все неслось вверх с треском и грохотом, и он совсем было потерял голову. Вдруг все неожиданно остановилось и разом утихло.
Илюша осмотрелся и увидел, что стоит почти впотемках на гнилых досках каких-то очень грязных сеней. Перед ним облезлая дверь, в которую кое-как вколочен ржавый гвоздь вместо ручки. Где-то жалобно пищит кошка. Илюша растерянно потянул за гвоздь. Дверь с унылым скрипом распахнулась, и Илюша попал в убогую каморку с подслеповатым окошечком, завешенным густой паутиной. Было холодно. И стало вдруг ужасно скучно. Илюша оглядел каморку в величайшем унынии. Радикса и след простыл! Перед Илюшей стоял колченогий столик, а за ним на старом ящике сидел какой-то старикашка в порыжевшем от времени пальто, подпоясанном веревкой. Перед ним стояла старая жестянка с водой, на ней лежал кусок заплесневевшего хлеба. Старичок что-то старательно чертил циркулем. Илюша нерешительно кашлянул.
— Сейчас, — сказал старичок, — сейчас, голубчик! Вот только начерчу еще одну окружность — и готово. Только одну. Одну-единственную.
— А что вы делаете? — спросил Илюша.
— А видишь ли, — отвечал тот, — я заслуженный специалист по Великой Теореме Ферма, а сейчас это так, забава, пустяк — трисекция угла с помощью циркуля и линейки. Пустяки! Очень легко сделать… Надо только начертить двести двадцать две окружности, провести сто одиннадцать хорд и секущих, и все готово. Очень просто!
— Как так? — жалобно спросил Илюша.
— 93 —
— Очень просто. Ну, совершенно так же, как делается с циркулем и линейкой квадратура круга.
— Квадратура круга?! — повторил в ужасе Илюша.
— Ну да. Это тоже очень просто. Только надо переставить числа хорд и окружностей. Хорд надо двести двадцать две, а окружностей сто одиннадцать. В общем, то же самое…
— Как у вас холодно! — сказал Илюша, надеясь переменить разговор.
— Машина не в порядке, — с огорчением ответил старичок. — Она, понимаешь ли, требует керосина для смазки. То есть теперь требует. Потом, когда я ее еще усовершенствую, этого тоже не будет нужно. Все время работала, а без керосина никак не выходит.
— Какая машина? — спросил Илюша.
— Для отопления. Это perpetuum mobile…
— Perpetuum mobile?.. — еле прошептал Илюша. — У вас и perpetuum mobile есть?
— А как же! — гордо сказал старичок. — Она у меня вертит крыльями. В жестянке. Воздух от этого нагревается, а потом я открываю жестянку, теплый воздух выходит, и в комнате становится теплее. Да я вот сейчас доделаю, потом закончу еще одно доказательство теоремы Ферма…
— Как так «еще одно»? Разве у вас уже есть доказательство?
— Доказательство! — усмехнулся старичок. — У меня, их есть уже пятьсот пять штук. Это будет пятьсот шестое.
— А зачем же так много? — спросил Илюша.
— Зачем так много? — задумался старичок. — Вот уж не знаю. Всё говорят — нехороши! Будто бы неверные. А уж такие хорошие доказательства! Одно другого лучше! Оставайся у меня. Будем вместе доказывать. У меня есть еще одна идейка. Доказательств на двадцать хватит. Вот посмотри мое четырехсот второе доказательство теоремы Ферма.
Илюша взял в руки замусоленный кусочек бумажки, начал разбираться в выкладках и вдруг с ужасом обнаружил, что почтенный ферматист был уверен, что если некоторое число делится на каждое из двух чисел а и b порознь, то оно должно разделиться и на их произведение. Илюша опустил бумажку и начал дуть себе на замерзшие пальцы.
— Но хочу я доказывать вашу теорему! — вдруг вскрикнул Илья в отчаянии. — Пустите меня отсюда, я замерз!
— Ах, так ты не хочешь? Вот как! — сказал, ядовито ухмыляясь, ферматист. — А ты ведь сказал, что хочешь? Поворачивайся! Нечего рассуждать! Раньше надо было думать.
И снова все засвистало, и Илюша помчался обратно вверх. Все кругом трещало, ухало, грохало, а Илюша мчался наверх
— 94 —
с такой скоростью, о которой раньше даже и понятия не имел.
Вдруг снизу, сквозь страшный грохот, раздался зычный крик:
— Вот он! Держи его! Стой! Поймать! Остановить! Изловить!
Илюша чуть не лишился чувств от страха. Он узнал страшный голос, взглянул вниз и увидел, что за ним с криком несется ужасный Уникурсал Уникурсалыч, Кандидат Тупиковых Наук, Д. Ч. и Н. У.
— Лови его! Держи! Он забыл про тысяча семьсот семьдесят пятый!.. Я ему покажу, как такие вещи забывать!..
«Что такое? — подумал Илюша. — Что это такое за тысяча семьсот семьдесят пятый?..»
— Не помнишь! — кричал снизу Доктор Четных и Нечетных. — Я тебе покажу! Я тебе напомню! А вот я сейчас!..
И вдруг перед Илюшей, откуда ни возьмись, появился старинный том, на переплете которого было вытиснено золотыми буквами: «Решения и постановления Парижской Академии Наук за 1775 год». Кинга открылась, несколько страниц перевернулось, и Илюша прочел:
