Доказательство ведется от противного. Предположим, что нам удалось произвести нумерацию всего множества этих чисел буквами с индексами, указывающими их порядковый номер: a1, a2, a3... - Пусть, скажем, начало нумерации имеет вид (десятичные дроби мы записываем одну под другой):
Наше допущение означает, что рассматриваемое множество чисел счетно. Однако легко построить число, принадлежащее рассматриваемому множеству, но никакого номера в нашей системе нумерации не имеющее. Напишем нуль и поставим после него запятую. Для определений первой цифры после запятой поступим следующим образом. Рассмотрим первую после запятой цифру в первой числе а1 и, если эта цифра выражает четное число, то в новое число впишем цифру 5, в противном случае впишет цифру 6. Чтобы определить вторую цифру после запятой нового числа, возьмем вторую цифру после запятой числа a2 и поступим по точно такому же правилу. Продолжая эту процедуру, то есть беря третью цифру после запятой, третьего числа, четвертую цифру после запятой четвертого числа и т. д., мы будем строить по указанному. правилу десятичные знаки некоторого числа A (в нашем примере его «начало» выглядит так: 0,5665 ...). Число a, очевидно, принадлежит к рассматриваемому множеству, ибо оно заключено между нулем и единицей. С другой стороны, оно не охвачено нашей нумерацией, так как отличается от любого из занумерованных чисел хотя бы в одном десятичном знаке, а именно — оно имеет другую цифру в том разряде, который «изготовлялся» по данному числу. Но выше предполагалось, что нашей нумерацией охвачены рее действительные числа. Мы пришли к противоречию. Значит, наше допущение неверно: множество всех положительных действительных чисел, не превосходящих единицу, не является счетным (такое множество называется несчетным), и, следовательно, несчетным является и все рожество действительных чисел (строгое доказательство последнего утверждения, интуитивно очевидного, можно осуществить с помощью того же самого «диагонального» метода, которым мы воспользовались для установления более частного результата[15]).
Итак, действительных чисел в каком-то смысле больше, чем натуральных: по какому бы закону мы ни нумеровали натуральными числами множество всех действительных чисел, всегда найдется хотя бы одно действительное число (на самом деле даже бесчисленное множество чисел), которое будет «забыто», оно не только не получит индекса достаточно быстро, но даже не будет поставлено «на очередь». Конечно, можно изменить весь принцип нумерации и включить это число в систему раздачи индексов, но тогда обязательно будет «обижено» какое-нибудь другое число.
Установив поразительный факт неодинаковой «мощности» бесконечных множеств. Кантор открыл для математики новый мир. Вскоре выяснилось, что множество действительных чисел (континуум) — далеко не самое мощное: его превосходит по мощности, например, множество всех действительных функций одной переменной, заданных на единичном отрезке. Вообще, Кантор показал, что по множеству данной мощности всегда можно построить еще более мощное множество—для этого достаточно взять множество всех подмножеств данного множества[16].
В письмах и статьях Кантора, в комментариях к его математическим работам не раз встречаются фразы, из которых можно заключить, что Кантор возводил свое Mengenlehre как бы вопреки собственной воле, на каждом этапе работы изумляясь полученному результату, как будто противоречащему интуиции и здравому смыслу. Действительно мышление в терминах множеств, обретя дарованный ему Кантором четкий аппарат, стало «теоретико-множественным» мышлением и отныне должно было развиваться уже независимо от психологических факторов, как развивается всякая математическая теория. Хотели этого иди не хотели математики, но в новой теории сами собой возникали уходящие в неоглядную даль вереницы множеств множеств множеств, множеств множеств множеств...
Конечно, с самого начала этой «вакханалии множеств были математики, которые смотрели на нее неодобрительно. Таким был, например, Леопольд Кронекер (1823—1891). Но доказательства Кантора были безупречными по всем принятым тогда стандартам. Поэтому самая сильная форма протеста тогда была не убедительнее восклицания самого Кантора: «Вижу, но не верю!»
Теоретико-множественная установка нашла свое приложение и в логике. Она воплотилась в трудах выдающегося логика Готлоба Фреге (2848—1925), профессора математика Иенского университета. Беспощадный критик математических работ, содержащих хотя бы мелкие логические дефекты, человек пуританского поведения и нелегкого для окружающих характера, фанатически преданный науке труженик, он фактически был создателем современного аксиоматико-дедуктивного метода построения математических теорий. Этот метод был разработан им уже в работе 1879 года — с этого года обычно датируют начало исследований по логическим основаниям математики, носившей название «Запись в понятиях», а затем развернуто в двухтомном труде (при своем появлении почти никем не замеченном) «Основные законы арифметики» (1893, 1902). В первом томе этого труда в неявной форме содержалось широко известное теперь формально-логическое противоречие.. Узнав об этом противоречии (как это произошло, мы расскажем ниже), Фреге так же резко осудил труд своей жизни, как осуждал слабые работы других. Мы дадим краткую характеристику достижений Фреге в области формализации логики, а затем расскажем о трактовке им понятия натурального числа — основного понятия арифметики, да и, по-видимому, математики вообще[17].
В предыдущей главе мы привели пример формальной системы — некоторого исчисления равенств, интерпретации которого содержали булевы алгебры. Обсудим теперь вопрос о формализации математических теорий вообще. При полной формализации теории никаких «интуитивно понятных» действий над объектом теории не допускается: все должно быть заложено в ее синтаксисе (алфавите, правилах образования формул) и средствах дедукции — постулатах (включая правила введения новых знаков для сокращения записи комбинаций основных знаков[18]).
В общем случае полностью формализованная математическая теория имеет два этажа — формализованную логику и надстроенную над ней специально математическую часть (в случае формальной арифметики этой частью является теория натуральных чисел). Логическая часть обычно строится не как исчисление равенств, а как пропозициональное исчисление — исчисление высказываний[19], расширяемое в исчисление предикатов.
Обрисуем кратко пропозициональную (относящуюся к высказываниям) часть такого рода аксиоматически-дедуктивной системы. В качестве схем аксиом в ней выбирается конечный (как правило, небольшой) набор формул (схем формул). В системе Фреге, в которой из числа логических знаков фигурировали только знаки отрицания и импликации, постулатами были формулы (схемы формул):
1. (α → (β → α))
2. ((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)))
3. ((α → (β → γ)) → (β → (α → γ)))
4. ((α → β) → (~α → ~β))
5. (α → ~~α)
6. (~~α → α).
объявляемые аксиомами (схемами аксиом), и правило вывода, называемое обычно модус поненс (лат. modus ponens):
«Если доказаны формулы вида (α → β) и α, то доказана формула β» (отметим, что это — постулаты его работы 1879 г.)[20].
Нетрудно проверить, что любая формула, имеющая структуру какой-либо схемы аксиом, является тождественно-истинной (проверку можно осуществить, построив для каждой схемы аксиом соответствующую ей таблицу истинности). Можно также убедиться, что правило модус поненс, как говорят, сохраняет тождественную истинность, то есть, что если формулы (α → β) и α тождественно-истинны, то тождественно-истинной будет и формула β (в самом деле, если формулы (α → β) и а принимают значение «истинно», то β, как это ясно из таблицы для импликации, может иметь только то же самое значение).
Это дает основание объявить любую формулу, подпадающую под какую-либо из схем 1 —6, верной, или доказанной (доказуемой), формулой и считать, что всякая формула, полученная из ранее доказанных формул по модусу поненсу, есть тоже доказанная (доказуемая) формула. Таким образов описанная система постулатов задает процесс порождение доказанных формул—теорем системы. Можно показав что если формула является тождественно-истинной в табличной интерпретации, она когда-либо неизбежно появится в качестве теоремы в упомянутом процессе (в этом состоит полнота исчисления высказываний)[21].
Построение логической теории высказываний в видь дедуктивной системы очерченного или родственного типа — как исчисления высказываний — ценно не само по себе (оно, как это сразу видно, не дает чего-либо принципиально нового по сравнению с булевой алгеброй, интерпретируемой на высказываниях), а как база для развертывания более богатой логическими средствами теории дедукции — исчисления предикатов. А для этой теории нельзя дать интерпретацию ее выражений с помощью конечных таблиц, и поэтому изучение свойств исчисления предикатов становится трудным делом. Между тем без этой логической теории нельзя и думать о формальном представлении большинства математических теорий и прежде всего арифметики.
