Энрике Грасиан - Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

9901 — простое;

999001 — составное;

99990001-простое;

9999900001 — составное;

999999000001 — простое;

99999990000001 — составное;

9999999900000001 — простое;

999999999000000001 — составное.

К сожалению, следующее число 999999999990000000001 также является составным!

* * *

Мы видели, как математики, такие как Мерсенн, Ферма, а иногда даже сам Эйлер, искали практические инструменты для работы с числами. Это в некоторой степени подрывало становление строгой теории. Доказательства едва упоминались, но результаты продолжали использоваться. Гаусс начал новую эру в истории математики, настояв на том, что приведение строгих доказательств должно быть главной целью.

Тем не менее с простыми числами мы снова, казалось бы, опираемся на эмпирический подход. Мы используем недоказанные теоремы и полагаемся на результаты, если знаем, что вероятность ошибки очень мала. Мы действуем как Ферма, но даже не пытаемся прятать гипотетические доказательства. Мы можем так делать, потому что, во-первых, имеем огромные возможности благодаря компьютерным алгоритмам, а во-вторых — огромную потребность в больших простых числах.

В чисто теоретическом смысле можно сказать, что простые числа продолжают сопротивляться усилиям математиков. История их исследований в значительной степени является историей неудач. Наибольший успех был с дзета-функцией Римана, но мы все-таки понимаем, что это лишь частичный успех. Эйлер, который был великим математическим провидцем, не испытывал особенно оптимистичных чувств по поводу наших шансов понять эти неуловимые числа: «Математики уже давно тщетно пытаются найти закономерности в последовательности простых чисел, но у меня есть основания полагать, что это тайна, в которую человеческий разум никогда не сможет проникнуть».

Теорема утверждает, что любое натуральное число, отличное от 1, может быть единственным способом выражено в виде произведения простых чисел. Сначала мы должны объяснить, почему единица не считается простым числом.

Существует несколько причин, но наиболее очевидным является тот факт, что для числа 1 теорема не имеет места, так как оно может быть разложено на множители несколькими способами:

1 = 1 х 1 = 1 х 1 х 1 = 1 х 1 х 1 х 1 = …

С этой оговоркой мы можем доказать теорему в два этапа. Сначала покажем, что число может быть представлено в виде произведения, а затем — что это можно сделать единственным способом.

Первую часть докажем методом от противного. Предположим, что n является наименьшим числом, которое не может быть разложено на простые множители. Мы знаем, что это число не 1, потому что мы исключили такую возможность в формулировке теоремы. Не может оно быть и простым числом, так как тогда бы оно раскладывалось только на себя. Таким образом, это число должно быть составным вида n = а х Ь, где а и Ь меньше, чем n. Но так как n — это наименьшее число, которое не может быть разложено на простые множители, значит, а и b могут быть разложены на простые множители, что дает разложение и для n. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Вторая часть доказательства опирается на следующий результат.

Если р — простое число, на которое делится произведение множителей, то на р обязательно должен делиться один из этих множителей. (Этот результат может быть доказан с помощью соотношения Безу.) Предположим, что натуральное число, большее 1, может быть разложено на простые множители двумя способами, тогда мы возьмем простое число р из первого разложения. На это число должно обязательно делиться второе разложение и, следовательно, один из его множителей.

А так как этот множитель — тоже простое число, он должен быть равен р. Таким образом, мы нашли два одинаковых множителя в разных разложениях. Повторяя процесс для любого другого простого числа из первого разложения, мы докажем, что оба разложения содержат одинаковый набор простых множителей.

В терминах теории сравнений, как в пятой главе, теорема формулируется так: «Если р — простое число, то для любого натурального числа а, ар  a (mod р)». Это равносильно тому, что ар  — а делится на р.

Докажем теорему с помощью метода индукции. Другими словами, мы предположим, что это верно для некоторого натурального числа а, и затем покажем, что это также верно для числа а + 1.

Начнем с предположения, что ар — а делится на р. Согласно биномиальному разложению Ньютона,

Перенося члены ар и 1 налево, мы получим:

Множитель р содержится во всех слагаемых в правой части, поэтому правая часть уравнения делится на р и, следовательно, левая часть (а + 1)р  — ар — 1 тоже делится на р.

Так как по индукции ар — а делится на р, то и следующая сумма также делится на р:

Эту сумму можно переписать в виде:

Следовательно, делимость на р верна и в случае а + 1, то есть теорема доказана.

Bentley, Р. J., The Book of Numbers, Ontario, Firefly Books, 2008.

Hardy, G. H., A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, 1940.

Hardy, G. H., Ramanujan, London, Cambridge University Press, 1940.

Ifrah, G., The Universal History of Numbers, London, The Harvill Press, 1987.

Kanigel, R., The Man who knew Infinity, New York, Washington Square Press, 1991.

Kline, M., Mathematical Thought (3 Volumes), USA, Oxford University Press, 1990.

Pickover, C. A., Wonders of Numbers, USA, Oxford University Press, 2002.

Sautoy, M. du, The Music of the Primes, London, Harper Perennial, 2004.

Stewart, I., From Here to Infinity, Oxford Paperbacks, 1996.

Szpiro, G., Poincare’s Prize, USA, E. P. Dutton & Co.Inc., 2007.

* * *

Научно-популярное издание

Выходит в свет отдельными томами с 2014 года

Мир математики

Том 3

Энрике Грасиан

Простые числа. Долгая дорога к бесконечности

РОССИЯ

Издатель, учредитель, редакция:

ООО «Де Агостини», Россия Юридический адрес: Россия, 105066,

г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1

Письма читателей по данному адресу не принимаются.

Генеральный директор: Николаос Скилакис

Главный редактор: Анастасия Жаркова

Старший редактор: Дарья Клинг

Финансовый директор: Наталия Василенко

Коммерческий директор: Александр Якутов

Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук

Менеджер по продукту: Яна Чухиль

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России: 8-800-200-02-01

Телефон горячей линии для читателей Москвы: 8-495-660-02-02

Адрес для писем читателей:

Россия, 170100, г. Тверь, Почтамт, а/я 245, «Де Агостини», «Мир математики»

Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).

Распространение: ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»

УКРАИНА

Издатель и учредитель:

ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина

Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119

Генеральный директор: Екатерина Клименко

Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине: 0-800-500-8-40

Адрес для писем читателей:

Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»

Украïnа, 01033, м. Киïв, а/с «Де Агостiнi»