До появления современной физики бесконечность упоминалась только в философских и богословских дискуссиях. В математике она присутствовала, можно сказать, естественным образом, так как, по словам Кронекера, «нам дана свыше» бесконечная последовательность натуральных чисел. Различия между актуальной и потенциальной бесконечностью затронули и геометрию, в которой использовалось понятие бесконечной прямой. Однако полноправным элементом математики бесконечность стала только с появлением математического анализа, анализа бесконечно малых.
Как говорил Гильберт, «математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного».
Однако частью нашей повседневной реальности бесконечность стала лишь благодаря открытиям в физике и астрономии. До начала XX века астрономы считали, что Вселенная включает Солнце, планеты и далекие звезды. Спустя некоторое время они открыли, что Солнечная система — часть галактики, состоящей из нескольких миллионов солнечных систем. Постепенно пространство стало считаться достаточно большим, чтобы вместить несколько миллиардов галактик. Но почему на этом следовало остановиться? Кто сказал, что в космосе не будут обнаружены новые структуры большего размера, что позволит считать, что размеры Вселенной намного больше? Бесконечна ли Вселенная? Ответ на этот вопрос до сих пор не найден и, возможно, не будет найден никогда.
С другой стороны, чем больше ученые изучают субатомные частицы, тем более важную роль в физике начинают играть бесконечно малые величины. Атом как таковой перестал быть неделимым, каким его считали древние греки, и стал подобен Солнечной системе в миниатюре. Однако физики не остановились на этом: были открыты частицы, содержащиеся внутри атомного ядра, и их размеры составляют менее 10-15 метра. Пока что можно вести речь о невообразимо малых, но не бесконечно малых величинах. Тем не менее в одной из физических теорий, которую оказалось труднее всего подтвердить экспериментально, а именно в квантовой электродинамике, изучаются элементарные частицы, в частности электроны и кварки, которые с точки зрения математики рассматриваются как точки, следовательно, они подобны точкам вещественной прямой и ведут себя похожим образом.
Возможно, ученые когда-нибудь докажут, что в природе не существует и никогда не существовало различий между потенциальной и актуальной бесконечностью и что противоречие между ними лишь мнимое.
Иррациональность √2
Первое известное доказательство иррациональности квадратного корня из 2 принадлежит философу-досократику, представителю пифагорейской школы Гиппасу из Метапонта (род. ок. 500 г. до н. э.), который, создав это доказательство, не только проявил способности к математике, но и затронул тему, табуированную в его среде. Не будем забывать о легенде, согласно которой за всякое упоминание о существовании иррациональных чисел пифагорейцы карали смертью.
Как и в большинстве подобных доказательств, включая и приводимое в некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида, в доказательстве Гиппаса используется метод доведения до абсурда. На современном языке его доказательство звучит следующим образом.
Если √2 — рациональное число, это означает, что его можно представить как частное двух целых вида
√2 = p/q
Отметим, что эта дробь является несократимой, то есть ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
2 = p2/q2
и, как следствие,
p2 = 2q2
Это означает, что р2 четно, поэтому р также четно. Таким образом, р можно представить как число, кратное 2, то есть в виде р = 2n. Имеем
2q2 = р2 = (2n)2 = 4n2.
Упростив равенство, получим
q2 = 2n2.
Иными словами, q2 четное, поэтому q также четное. Мы пришли к выводу, что и р, и g — четные числа, таким образом, числитель и знаменатель дроби p/q имеют общий множитель, что противоречит исходной гипотезе. Это означает, что √2 нельзя представить в виде частного двух целых.
Первые приближенные значения √2 содержали всего 4–5 знаков после запятой.
Достаточно точное значение, содержащее 65 знаков после запятой, записывается так:
√2 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799.
С помощью современных компьютеров можно получить приближенное значение этого числа, содержащее несколько миллионов знаков после запятой.
Множества чисел
Определение различных множеств чисел сложно для понимания и требует знаний математики, выходящих за рамки этой книги. Существуют альтернативные определения, менее строгие, но более понятные, которые основываются на практическом применении множеств для решения уравнений. Отправной точкой являются так называемые натуральные числа. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, … обозначается буквой . Это множество записывается так:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7….}
Некоторые авторы не включают 0 в множество натуральных чисел, что совершенно оправданно: это число появилось в результате длительных и глубоких размышлений, поэтому его сложно назвать натуральным, то есть естественным.
На множестве натуральных чисел решаются уравнения вида
х — 2 = 0.
Однако уравнения вида х + 2 = 0 на этом множестве решить нельзя, так как отрицательные числа не являются натуральными. Если добавить к множеству натуральных чисел отрицательные числа и 0, получим целые числа. Множество целых чисел обозначается буквой .
Аналогичным образом вводятся остальные множества чисел. Например, для решения уравнений вида
2х + 3 = 0,
корнем которого является х = — 3/2, необходимо ввести множество рациональных чисел . Для уравнений вида
х2 — 2 = 0
следует ввести множество иррациональных чисел. Объединение этого множества и множества рациональных чисел является множеством вещественных чисел .
Наконец, уравнение
х2 + 2 = 0
не имеет вещественных решений, так как не существует такого вещественного числа,
которое было бы квадратным корнем отрицательного числа. Следующий шаг, позволяющий решить уравнения такого типа, — введение комплексных чисел, множество которых обозначается буквой . Этот шаг также является последним, потому что было доказано: любое уравнение с комплексными коэффициентами всегда имеет решение (основная теорема алгебры).
Каждое из определенных нами множеств включает предыдущее (является его алгебраическим расширением):
BOYER С.В. Historia de la matemática, Barcelona, Destino, 2009.
CANTOR G. Fundamentos para una teoría general de conjuntos, Madrid, Alianza Universidad, 1986.
COLLETTE J.P. Historia de la matemática, Madrid, Siglo XXI, 1985.
DEDEKIND R. ¿Qué son у para que sirven los números? Madrid, Alianza, 1998.
GUTHRIE Ch. Historía de la filosofía griega, Madrid, Gredos, 2009.
KLINE M. El pensamiento matematico de la Antigiiedad a nuestros días, Madrid, Alianza Universidad, 1992.
MANKIEWICZ R. Historia de las matemáticas, Barcelona, Paidós, 2005.
MONNOYEUR F. El infinito de los matemáticos, el infinito de los filósofos, Paris, Editions Belin, 1995.
MOSTERIN J. Los lógicos, Madrid, Espasa Calpe, 2000.
STEWART I. De aquí al infinito, Barcelona, Crítica (Grijalbo Mondadori), 1998.
ZELLINI P. Breve historia del infinitoy Madrid, Siruela, 2003.
* * *
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 18
Эирике Грасиан
Открытие без границ.
Бесконечность в математике
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не принимаются.
