История об Ахиллесе и черепахе отражает представление древнегреческого философа Зенона Элейского о бесконечности. На иллюстрации изображен кадр из фильма Такеши Китано с одноименным названием.
Однако бесконечность была продуктом логики, и появилась она благодаря возможности определять новые понятия через отрицание уже известных. Более того, бесконечность была приятной на вид: некоторые математические объекты очевидно плохо уживались с понятиями конечного и ограниченного. Это и числа, которых настолько много, что им нет конца (это подтвердит любой), и прямые линии, которые всегда можно мысленно продолжать бесконечно.
Учитывая контекст, сопровождающий бесконечность, в котором абсурдное и, как следствие, скандальное и полемичное смешалось с разумным, неопровержимым, пусть и едва заметным, греки разделили бесконечность на две части: первая, потенциальная бесконечность, была приемлемой, вторая, актуальная бесконечность — отвратительной и ненавистной. Непреходящий аристотелевский «здравый смысл» стал тем ножом, которым чудовище было рассечено надвое. Отрицать существование бесконечных процессов невозможно (так, мы можем последовательно делить отрезок пополам бесконечное число раз, а последовательность чисел бесконечно велика), и Аристотель в книге III «Физики» описал природу потенциальной бесконечности так: «много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного», таким образом, «о бесконечном можно говорить в возможности», то есть «бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием». Бесконечность сама по себе, как нечто завершенное, по Аристотелю была запретной: «Невозможно, чтобы бесконечность существовала в действительности как нечто сущее либо как субстанция и первоначало. […] величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой». По Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество точек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неограниченное число раз. Однако использование актуальной бесконечности противоречило и Евклиду, который включил в «Начала» такую аксиому: «Целое больше, чем каждая из его частей».
* * *
АРХИМЕД И БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Архимед был, возможно, единственным древнегреческим математиком, который преодолел аристотелевский запрет на использование актуальной бесконечности, однако сделал это вдумчиво и сдержанно. В рассуждениях Архимеда о вычислении площади сегмента параболы, приведенных в главе 1, упоминается актуальная бесконечность всякий раз, когда поверхность рассматривается как бесконечное множество отрезков прямой — «прямые, проведенные в треугольнике, составляют сам треугольник». Однако Архимед не стремился восстать против Аристотеля, так как, по его словам, его рассуждения были «далеки оттого, чтобы считаться доказательством».
Архимед, каким его увидел художник Хосе де Рибера (1591–1652).
* * *
Эта аксиома порождена нашими интуитивными представлениями о конечном и ограниченном. Лучше других объяснить несовместимость бесконечного и этой аксиомы Евклида сумел Галилей в своих «Беседах» (1638). Так как каждое число порождает квадрат: 2 порождает 4, 3–9, 4 — 16 и так далее — а каждый квадрат, в свою очередь, порождается единственным числом, Галилей указал, что мы можем объединить в пары числа и соответствующие им квадраты, заключив, что чисел и квадратов будет одинаковое количество. Тем не менее очевидно, что квадратные числа — лишь часть множества чисел (так, 2, 3, 5, 7 — числа, но не квадраты), то есть чисел больше, чем квадратов, целое больше его части. Мы столкнулись с парадоксом: чисел одновременно столько же, сколько их квадратов, и одновременно больше, чем квадратов. Галилей сделал вывод: «понятия «больше», «меньше» и «равно» неприменимы к бесконечному».
Связь христианского Бога с бесконечностью помогла преодолеть древние страхи перед ужасным чудовищем, и бесконечность, как потенциальная, так и актуальная, в XVII веке окончательно расположилась в центре математики. Следуя заветам Аристотеля, богословы отказывали человеку в возможности понять актуальную бесконечность, но они перевели это понятие в область богословия. Фома Аквинский рассматривал Бога как полную и всеобъемлющую, актуальную бесконечность, такая трактовка часто встречается и в трудах философов XVII века. Не будем забывать, что некоторые из них были учеными, в том числе математиками. Подтверждение мы находим у Декарта: «Мыслю некоего вышнего Бога — вечного, бесконечного, всеведущего, всемогущего, творца всех сущих, помимо него самого, вещей», а также: «Что же до Бога, я считаю его столь бесконечным, что к его совершенству ничего уже нельзя добавить»; у Спинозы: «Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное (ens absolute infinitum), т. е. субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность», и также у Лейбница: «Следует считать, что эта божественная субстанция, неделимая, универсальная и непреложная, не должна иметь пределов и содержать всю реальность, какую только возможно».
Никакой запрет не мог покончить с чем-то действительно полезным. И никакое понятие не оказалось столь плодотворным для математики, как бесконечность, ни одно из них не сделало математику столь полезной для объяснения явлений природы: бесконечность — это основной элемент анализа бесконечно малых, а анализ бесконечно малых — несомненно, самое мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Еще один парадокс бесконечности: почему она, будучи не более чем продуктом логической структуры нашего мозга, играет столь важную роль в формировании научной картины окружающей нас Вселенной, если в этой Вселенной бесконечность подобна эмигранту без документов?
Несмотря на свою неоспоримую, пусть и непонятную, полезность, актуальная бесконечность по-прежнему пользуется дурной славой. Не самым лестным образом о ней отзывался даже так называемый король математиков. Великий Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное. Бесконечность — лишь манера выражаться, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».
И средневековые схоластики, в частности Фома Аквинский (ок. 1224–1274), и философы-рационалисты, в частности Рене Декарт (1596–1650), сталкивались с проблемой актуальной бесконечности.
Кантор и анархистская природа математики
Почти одновременно с тем, как Гаусс написал эти строки, родился Георг Кантор (1845–1918). Именно он смог подчинить себе бесконечность, укротив это страшное математическое чудовище.
Кантор начал с того, что сравнил различные бесконечные множества с числами, которые имелись в его распоряжении. Для сравнения бесконечных множеств он объединял элементы этих множеств в пары: если элементы двух множеств можно объединить попарно так, что ни один элемент не останется без пары, значит, число элементов этих множеств одинаково.
Кантору удалось объединить в пары натуральные и целые числа, натуральные и дробные числа. Вопреки доводам логики, согласно которым целое больше его части, рассуждения Кантора показывали, что натуральных чисел столько же, сколько и дробных.
Однако для выполнения расчетов с бесконечностью Кантору потребовались бесконечные множества разного размера. Первый важный результат был получен в конце 1873 года, когда Кантор обнаружил два бесконечных множества, элементы которых нельзя было объединить попарно. Точнее, ученый доказал, что натуральные числа нельзя объединить в пары с точками произвольного отрезка. Этот результат стал одним из самых революционных в истории математики. Для этого утверждения, сколь важного, столь и глубокого, Кантор в 1899 году нашел в высшей степени простое и элегантное доказательство. Этим доказательством, подобно картинам импрессионистов, можно полнее насладиться, зная его историю и необходимый контекст.
Кантор в 1894 году, в возрасте 49 лет, когда он пытался систематизировать теорию множеств.
Доказательство Кантора
Для простоты вместо точек отрезка рассмотрим все бесконечные последовательности вида 0, а1, a2, а3, …, где каждая цифра 0, а1, a2, а3, … имеет значение 0 или 1. Нетрудно видеть, что число различных последовательностей такого типа равно числу точек отрезка (однако доказательство этого утверждения будет носить несколько технический характер).
