Дело приобретает особенно интересный характер, когда у вас имеется бесконечное множество. Рассмотрим множество всех чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5…}. Очевидно, что оно равномощно самому себе: можно каждое число просто «посадить» на самого себя.
Здесь нет никакой уловки. Каждое множество, очевидно, равно (и равномощно) самому себе. Но что случится, если мы начнем убирать числа из набора? Например, что будет, если мы уберем ноль? Как ни странно, устранение ноля совсем не изменит размер мощности множества. Несколько изменив «рассадку», мы можем обеспечить, чтобы у всех было место и все места были заняты.
Набор остался той же мощности, несмотря на то, что мы из него кое-что убрали. На самом деле из набора целых чисел мы можем убрать бесконечное количество элементов — можем исключить, например, нечетные числа — мощность множества останется неизменной. Все по-прежнему имеют места, и каждое место занято.
Это есть определение бесконечного: это нечто, что может оставаться той же мощности, даже если вы из него что-то вычтете.
Четные числа, нечетные числа, целые числа — все эти множества имеют одинаковую мощность, размер, которую Кантор обозначил как 0 (алеф-ноль, названный так по первой букве еврейского алфавита). Поскольку эти наборы имеют ту же мощность, что и множество натуральных чисел, любое множество мощности 0 называется счетным. (Конечно, на самом деле вы не можете их пересчитать, если не располагаете бесконечным временем.) Даже множество рациональных чисел — множество чисел, которые могут быть записаны как a / b для целых чисел a и b, — является счетным. Ловко отведя рациональным числам подобающие места, Кантор показал, что рациональные можно «рассадить» по стульям с натуральными номерами, то есть что они образуют множество размера 0 (см. Приложение D).
Однако, как было известно Пифагору, рациональные числа вовсе не заполняют все под солнцем. Рациональные и иррациональные числа в совокупности составляют так называемые вещественные числа. Кантор открыл, что множество вещественных чисел много больше множества рациональных чисел. Его доказательство было очень простым.
Представьте себе, что у вас имеется идеальный план «рассадки» вещественных чисел: каждое вещественное число имеет место, и каждое место занято. Это означает, что мы можем сделать список мест с указанием номера места одновременно с тем вещественным числом, которое на нем сидит. Например, наш список мог бы выглядеть примерно так:
Место . . . . . . . . . . Вещественное число
1 . . . . . . . . . . . . . . 3125123…
2 . . . . . . . . . . . . . . 7843133…
3 . . . . . . . . . . . . . . 9999999…
4 . . . . . . . . . . . . . . 6261000…
5 . . . . . . . . . . . . . . 3671123…
и т.д. . . . . . . . . . . .и т.д.
Уловка удалась, когда Кантор создал вещественное число, которого не было в списке.
Посмотрите на первую цифру первого числа в списке. В нашем примере это 3. Если бы наше новое число было равно первому числу в списке, его первой цифрой тоже было бы 3, но мы с легкостью можем воспрепятствовать этому. Давайте просто скажем, что наше новое число начинается с цифры 2. Поскольку первое число в списке начинается с 3, а новое число — с 2, мы знаем, что эти числа различны. (В строгом смысле слова это не так. Число 3,00000… равно числу 2,99999…, поскольку существует два способа записи многих рациональных чисел. Однако это мелочь, которую легко преодолеть. Для ясности мы проигнорируем это исключение.)
Теперь перейдем ко второму вещественному числу. Как мы можем быть уверенными в том, что наше новое число отличается от второго числа из списка? Что ж, мы уже определили первую цифру нашего нового числа, так что не можем повторить в точности ту же уловку, но можем сделать кое-что не хуже. Второе число нашего списка имеет вторую цифру 8. Если наше новое число имеет вторую цифру 7, мы можем убедиться, что наше новое число не совпадает со вторым числом из списка, поскольку их вторые цифры отличаются друг от друга. Значит, они не одинаковы. Мы продолжаем делать то же самое, двигаясь по списку: рассматриваем третью цифру третьего числа и меняем ее, рассматриваем четвертую цифру четвертого числа и меняем ее — и так далее.
Это дает новое число 27800…, которое отличается от первого числа (их первые цифры не совпадают), от второго числа (их вторые цифры не совпадают), от третьего, четвертого, от пятого и т.д.
Перемещаясь подобным образом по диагонали, мы создаем новое число. Этот процесс обеспечивает отличие нового числа от всех чисел в списке. Оно отлично от всех чисел в списке, оно не может входить в список, но мы уже предположили, что наш список содержит все вещественные числа. В конце концов, это был полный список рассаженных чисел. Имеет место противоречие. Безупречный список «рассадки» существовать не может.
Вещественные числа составляют бо́льшую бесконечность, чем числа рациональные. Термин для бесконечности такого типа — 1, это первая несчетная бесконечность. (Технически термин для бесконечности вещественной прямой — С, или бесконечность-континуум. Математики многие годы пытались определить, действительно ли мощность С — 1. В 1963 году математик Пол Коэн разрешил эту загадку, так называемую континуум-гипотезу: она недоказуема и не недоказуема в силу теоремы неполноты Гёделя. Сегодня большинство математиков воспринимают континуум-гипотезу как верную, хотя при некоторых исследованиях не-Канторовых трансфинитных чисел она оказывается неверна.) В уме Кантора существовало бесконечное число бесконечностей, одна в другой — трансфинитных чисел. 0 меньше, чем 1, которая, в свою очередь, меньше 2, которая меньше 3 и т.д. На вершине цепи располагается предельная бесконечность, поглощающая все прочие, — Бог, бесконечность, не поддающаяся никакому пониманию.
К несчастью для Кантора, не все разделяли его видение Бога. Леопольд Кронекер был видным профессором Берлинского университета и одним из учителей Кантора. Кронекер верил в то, что Бог никогда не допустил бы существования такой гадости, как иррациональные числа и тем более бесконечно увеличивающегося числа бесконечностей, образующих нечто вроде матрешки. Целые числа символизировали чистоту Бога, в то время как иррациональные числа и другие странные разновидности чисел представляли собой скверну — измышления несовершенного человеческого ума. Худшими из них были Канторовы трансфинитные числа.
Возмущенный взглядами Кантора, Кронекер обрушил на него ядовитую критику и очень затруднил публикацию его работ. Когда Кантор в 1883 году претендовал на должность в Берлинском университете, ему было отказано. Пришлось удовольствоваться должностью профессора гораздо менее престижного университета в Галле. Вероятно, виноват в этом был влиятельный Кронекер. В том же году Кантор написал опровержение нападок Кронекера. Затем в 1884 году Кантор пережил первый нервный срыв, приведший к депрессии.
Слабым утешением для него послужило бы то, что его работы стали основой целой новой области математики: теории множеств. Используя теорию множеств, математики открыли не только числа, о которых мы ничего не знаем; они разработали неслыханные до того понятия — бесконечные бесконечности, которые можно складывать, вычитать, умножать и делить, как обычные числа. Кантор открыл целую новую вселенную чисел. Немецкий математик Давид Гильберт сказал о нем: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Однако для Кантора признание опоздало: весь остаток жизни он лечился в психиатрических больницах и в 1918 году умер в одной из них.
В битве между Кронекером и Кантором Кантор в конце концов победил. Его теория показала, что дорогие Кронекеру целые числа — и даже числа рациональные — это ничто. Они — бесконечный ноль.
Рациональных чисел бесконечно много, и между любыми двумя числами по вашему выбору, как бы близко друг к другу они ни располагались, все еще находится бесконечное множество рациональных чисел. Они повсюду. Однако канторовская иерархия бесконечностей говорила о другом: она показывала, как мало места рациональные числа занимают на числовой оси.
Для такого сложного подсчета требуется остроумная уловка. Измерить объекты неправильной формы очень трудно. Например, представьте себе, что у вас пятно на деревянном полу. Какую площадь занимает пятно? Это совсем не очевидно. Если пятно имеет форму круга, квадрата или треугольника, площадь легко вычислить: просто возьмите рулетку и измерьте радиус или высоту и основание. Однако не существует формулы для вычисления площади пятна в форме амебы. Впрочем, существует другой способ.
