Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовали древние египтяне (3600 год дон. э.)
2409 94
(1204 188)
(602 376)
301 752
(150 1504)
75 3008
37 6016
(18 12032)
9 24064
(4 48128)
(2 96256)
1 192512
= 94 + 752 + 3008 + 6016 + 24 064 + 192 512 = 226 446.
Первый множитель (2409) последовательно делится на два, пока результат деления не станет равен единице. Одновременно с этим второй множитель (94) столько же раз умножается на два. Результатом умножения является сумма чисел в правом столбце, которым соответствуют нечетные числа в левом столбце.
Умножение 2409 х 94 согласно методу, который использовался в компьютерах середины XX века
Выполняется умножение 4 на 9,90 на 9,4 на 0,90 на 0 и т. д. до умножения 90 на 2000. Результат умножения равен сумме промежуточных результатов, записанных в левой части таблицы.
* * *
Алгоритмы вычислений
Греки и римляне, как и доисторические пастухи, использовали для вычислений камешки или палочки. Цифры нужны были только для записи результатов. Чтобы не носить с собой постоянно мешочек с камнями, был изобретен абак — устройство для счета, которое до сих пор иногда используется для обучения детей основам арифметики.
Современная модель абака и представленное на нем число.
Каждый ряд абака соответствует позиции в записи числа. Если в каком-то ряду не сдвинут ни один шарик, это соответствует нулю, однако римляне в своей системе счисления не могли записать ноль. В римской системе число три миллиона двести восемьдесят четыре тысячи шестьсот пятьдесят семь записывалось так:
Однако в V веке н. э. индийцы уже использовали форму записи, очень похожую на современную запись 3284657. В VIII веке арабы, захватившие север Индии, заимствовали индийскую позиционную систему счисления и ноль. В Средние века они начали использовать отрицательные числа, перекрестное умножение и правило пропорции для решения задач следующего вида: «У Хусейна 22 динара, у Орнара — 19, у Халила — 7. Они сложили деньги вместе и заключили сделку, на которой заработали 12 динаров. Как нужно поделить прибыль?» В Коране также описываются сложные задачи о наследстве, которые легли в основу арабского права и подтолкнули развитие математических методов пропорционального деления наследства в зависимости от степени родства с умершим. Для решения подобных задач и уравнений была создана алгебра — от арабского «аль-джабр», что означает «восполнение». Тогда же были созданы первые алгоритмы — это слово происходит от имени известнейшего арабского математика Аль-Хорезми.
Итальянский ученый Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи («сын Боначчи»), в XIII веке совершил множество открытий в области арифметики и алгебры, которые получили дальнейшее развитие в эпоху Возрождения (XIV–XV века).
В своей «Книге абака» он изложил все знания, накопленные арабами, в том числе объяснил позиционную систему счисления и число ноль (который он называл zephyrum), а также алгоритмы действий с целыми и дробными числами. В «Книге абака» объясняются правило пропорции, способы вычисления квадратного корня числа и алгоритмы решения уравнений первой и второй степени. А самое известное открытие математика — числовой ряд, известный как последовательность Фибоначчи.
Элементарные действия. Арифметика и торговля
Первый трактат по арифметике в торговле был опубликован в Тревизо (Италия) в 1470 году, и автор его неизвестен. В течение XV века было издано около 30 книг на эту тему (из них 14 в Италии, 11 — в Германии). Во всех книгах описывалась арабская система счисления по основанию 10 и алгоритмы действий с отрицательными и положительными числами (так называемыми натуральными). В этих книгах также были описаны дробные числа и операции над ними, правило пропорции, прогрессии, алгоритмы решения прикладных задач торговли (например, расчет реальной стоимости товара при обмене), приводились примеры вычисления налогов и таможенных пошлин, решение задач о сплавах и о преобразованиях единиц измерения.
В это время и была сформирована тесная связь между экономикой, которая понималась как наука об управлении ограниченными ресурсами, и математикой — абстрактной наукой, основанной на правилах элементарной арифметики и логических умозаключениях. Эффективные методы сложения и вычитания чисел (которыми обозначались товары в обращении) легли в основу прогресса. Позднее, с развитием коммерции, возникла необходимость в таких же эффективных и простых алгоритмах умножения и деления.
* * *
СТОЛКНОВЕНИЕ АЛГОРИТМОВ
Средневековая наука в христианском мире ограничивалась переводом оригинальных арабских трудов и арабских изданий древнегреческих книг, в частности «Экономики» Аристотеля. За несколько лет до 1000 года монах Герберт Орильякский, будущий папа римский Сильвестр II, обучился у арабов Андалусии использованию цифр и позиционной системы счисления, а также усовершенствовал римский абак, в котором, тем не менее, по-прежнему не использовался ноль. И лишь в XII веке крестоносцы принесли из Иерусалима в Европу индо-арабские цифры, их систему счисления и ноль. Церковь в те годы препятствовала использованию арабских методов вычисления, объясняя их простоту проделками дьявола, и профессиональные вычислители вынуждены были использовать восточные алгоритмы втайне. И все же, несмотря на противодействие духовенства, с началом эпохи Возрождения арабские алгоритмы широко распространились в торговле.
* * *
Для решения этой задачи требовались новые числа, в частности десятичные дроби, с помощью которых можно было бы говорить о частях единиц длины, веса и объема, а также выражать соответствующую стоимость при купле, продаже и обмене. И тут экономике пришлось обратиться к прошлому, ведь впервые дробные числа упоминаются уже в древнеегипетских папирусах.
Важным применением дробей стало представление процентов как частей целого при вычислении скидок и процентного дохода. Позднее эти числа стали использоваться для представления и других дробей, со знаменателем, отличным от 10 и 100.
Эволюционный процесс завершился, когда дробные величины стали записывать в позиционной системе счисления по основанию 10, которую мы используем и сейчас.
36/100 = 3,6/10 = 36 % (процент) = 0,36 (десятичная дробь).
В эпоху Возрождения величина 78, 4/10, 5/100, 6/1000 записывалась как
78 + 4/10 + 5/100 + 6/1000 = 78,456.
Дробные числа используются в математике начиная с XVII века. Они получили название рациональных чисел и могут записываться двумя способами (в двух нотациях): в виде процентов и в виде десятичных дробей с запятой.
Рациональные числа могут иметь конечное (ограниченное) число десятичных знаков. Это происходит, когда результат деления можно определить точно, например, 34/64 = 0,53125.
Однако они могут иметь и бесконечное (неограниченное) число цифр после запятой, которые иногда неким образом повторяются, например 34/70 = 0,4857142857142857142857142857 …
В это же время появились банки, задачей которых было гарантировать безопасность денежного обращения при покупке и продаже товаров и услуг. Первыми банкирами стали средневековые ювелиры, которые чаще всего были иудеями или мусульманами. Церковь считала ростовщичество греховным, поэтому христианам было запрещено давать деньги в рост. Конечно, по прошествии некоторого времени к числу банкиров и ростовщиков присоединились и христиане, но об этом — позже.
«Меняла с женой», Квентин Массейс, 1514 год. Считается, что на этой картине отражен типичный для той эпохи конфликт между набожностью и стремлением к достатку: жена менялы откладывает молитвенник в сторону, чтобы посмотреть, как муж считает деньги.
* * *
ИЗОБРЕТЕНИЕ БУХГАЛТЕРСКОГО УЧЕТА
В 1494 году монах-францисканец Лука Пачоли изобрел метод, лежащий в основе современного бухгалтерского учета. Его идея о двойной записи стала поистине гениальной, а кроме того, она еще раз подтверждает, какую помощь математика оказала коммерции. Запись доходов и расходов перестала быть бессмысленной — между ними появились наглядные причинно-следственные связи.
Книга Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» была опубликована в Венеции, в эпоху формирования новых политических и торговых отношений.
В этой книге популярно, простым языком описывается ведение дел до начала непосредственной купли-продажи товаров. Пачоли отмечает, что предприниматель должен подготовить полный перечень всей собственности (активов) и перечень обязательств перед третьими лицами (пассивов).
