|P
B|. (3.3)
Отсюда следует важное следующее равенство
|SA| + |PA| = |SB| + |PB|. (3.4)
Следовательно, правомерно записать и такое соответствие
SA U PA<=>SB U PB. (3.5)
Это значит, что объединение подмножеств SA и PA однозначно соответствуют объединению подмножеств SB и PB.
Далее рассмотрим пример для числа n=16. Построим числовой отрезок [0,32] (см. рис. 2).
____________________________________________________________________________
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
a1 n b1
Рис. 2
Запишем подмножество nchA. Оно будет
nchA ={15;13;11;9;7;5;3;1}.
Далее, подмножество nchB будет состоять из следующих элементов
nchB ={17;19;21;23;25;27;29;31}.
Мощности построенных подмножеств равны 8, т. е. |nchA| = |nchB| =8.
Выберем в каждом из них нечетные составные и простые числа.
Получим
SA = {15;9}, PA = {13;11;7;5;3;1}, при чем, |SA| =2, а |PA| =6.
Аналогично
SB = {21;25;27}, PB = {17;19;23;29;31}, при чем, |SB| =3, а |PB| =5.
Построим таблицу соответствия подмножеств nchA и nchB для данного примера, а фактически таблицу симметричных пар
Таблица 2
nchA
15
13
11
9
7
5
3
1
nchB
17
19
21
23
25
27
29
31
δ
1
2
3
4
5
6
7
8
Теперь построим таблицу соответствия нечетных составных и простых чисел
Таблица 3
nchA
15
13
11
9
7
5
3
1
SA
15
9
PA
13
11
7
5
3
1
nchB
17
19
21
23
25
27
29
31
SB
21
25
27
PB
17
19
23
29
31
δ
1
2
3
4
5
6
7
8
Анализ таблицы 2 и 3 показывает, что при δ=2,7,8 симметричными парами чисел являются исключительно простые числа (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. (1, 31), (3, 29), (13, 19).
Далее, рассмотрим случай числа n=32.
Подмножество нечетных чисел множества А и его мощность составляют
nchA ={31;29;27;25;23;21;19;17;15;13;11;9;7;5;3;1}, |nchA| =16.
Подмножество составных нечетных чисел и его мощность составляет
SA ={27;25;21;15;9}, |SA| =5.
Подмножество простых чисел и его мощность составляет
PA={31;29;23;19;17;13;11;7;5;3;1}, |PA| =11.
Соответственно для подмножества В
nchВ ={33;35;37;39;41;43;45;47;49;51;53;55;57;59;61;63}, |nchВ| =16, а также подмножества составных нечетных и простых чисел.
Соответственно,
SВ ={33;35;39;45;49;51;55;57;63}, |SВ| =9,
PВ ={37;41;43;47;53;59;61}, |PВ| =7.
Таблица симметричных пар тогда будет
Таблица 4
nchA
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
SA
27
25
21
15
9
PA
31
29
23
19
17
13
11
7
5
3
1
nchВ
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
SВ
33
35
39
45
49
51
55
57
63
PВ
37
41
43
47
59
61
δ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Из таблицы 4 видно, что симметричными простыми парами в этом примере будут пары при δ=5,8,14,15 (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. пары (3, 61), (5, 59), (17, 47), (23, 41). Здесь же видим, что нечетные симметричные пары могут состоять также только из нечетных составных чисел δ=4,9,12 (в таблице подчеркнуты двойной чертой) (9, 55), (15, 49), (25, 39).
Следовательно, напрашивается вывод о том, что нечетные симметричные пары числа n могут состоять из:
1) нечетных составных и простых чисел (смешанные пары);
2) только нечетных составных чисел;
3) только простых чисел.
Дальнейший анализ числового ряда и составляющих симметричных пар с помощью подобных таблиц показывает, что при n→∞ можно составить такие неравенства
|SA|< |SВ|, (3.6)
и соответственно
|PA| > |PВ|. (3.7)
Оценку приведенных неравенств можно получить из следующих соображений.
Согласно оценке П.Л. Чебышева [2], уточняющую оценку Лагранжа [3], для больших значений n, число простых чисел в натуральном ряде достаточно точно оценивается следующим выражением
π(n) = n/ln(n), (3.8)
где ln – натуральный логарифм.
Тогда для числа 2n количество простых чисел будет равно
π(2n) = 2n/ln(2n). (3.9)
Используя выражения (3.8) и (3.9) можно записать
|PA|= π(n), а (3.10)
|PB|= π(2n) – π(n). (3.11)
Для того чтобы определить справедливость неравенства |PA| > |PВ| исследуем разность
|PA| – |PВ| = π(n) – π(2n) + π(n) = 2π(n) – π(2n). (3.12)
Далее раскрывая (3.12) с учетом (3.8) и (3.9), имеем
2n/ln(n) – 2n/ln(2n) = 2n(1/ln(n) –1/ln(2n)). (3.13)
Так как ln(2n) = ln2 + ln(n), то очевидно, что в выражении (3.13)
ln(2n) > ln(n). (3.14)
Учитывая полученное неравенство (3.14) имеем
1/ln(n) > 1/ln(2n). (3.15)
Отсюда получаем положительную следующую разницу
|PA| – |PB| > 0, (3.16)
что доказывает справедливость утверждения (3.7).
Исходя из (3.3) и (3.4) легко получается следующее равенство
|SB| – |SA| = |PA| – |PB|. (3.17)
Тогда с учетом (3.16) получаем
|SB| – |SA| > 0, (3.18)
что доказывает справедливость утверждения (3.6).
Теперь же особый интерес представляет способ формирования симметричных простых пар.
4. Таблица симметричных простых пар чисел
Для более глубокого понимания механизма образования симметричных простых пар чисел построим следующую таблицу.
В таблице в первой строке и первом столбце P1 обозначения простых чисел, стоящих во второй строке и втором столбце по порядку. А во второй строке и втором столбце стоят сами простые числа по порядку. На пересечении столбца и строки в таблице находится число 2n, по которому образуется симметричная простая пара. Очевидно, что таблица симметрична относительно диагонали.
Таблица 5
dp 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1
P1
P2
P3
P4
P5
P
