— Ага! Значит, в первом случае разность прогрессии была равна двум, а во втором — пяти, — сказал кто-то.
— Браво! — воскликнул фокусник.
Сева толкнул меня локтем:
— Всё это хорошо, но когда начнутся фокусы?
Фокусник, наверное, услышал его слова. Он лукаво посмотрел на Севу и снова взмахнул рукой. И вдруг палка, толстая палка, выточенная из цельного куска дерева, согнулась посредине и концы ее сошлись. Теперь числа, сидевшие на равном расстоянии от концов, оказались точно друг против друга: три — против сорока восьми, восемь — против сорока трёх и так далее.
— Попрошу сложить любую пару чисел, — предложил фокусник.
Мы сложили: три и сорок восемь. Получилось пятьдесят один. Затем восемь и сорок три. Снова пятьдесят один. Тринадцать плюс тридцать восемь… Что такое? Опять пятьдесят один! И восемнадцать плюс тридцать три, и двадцать три плюс двадцать восемь — все они в сумме давали одно и то же число: пятьдесят один.
— Вот это уже фокус! — закричал Сева.
— Где фокус? — развёл руками фокусник. — Это вы называете фокусом? Ха-ха-ха! Обыкновеннейшее алгебраическое правило.
— Но в чём же тогда фокус? — хорохорился Сева.
Фокусник небрежно разогнул палку, словно она была из бумаги.
— Попробуйте положить палку в воздухе, согнуть её пополам, потом снова разогнуть, и вы не станете задавать мне такие вопросы!
Все засмеялись, захлопали, а фокусник продолжал:
— Предлагаю сделать небольшой опыт. Кто из вас быстрее сложит все числа этой арифметической прогрессии? Раз, два, три — начали!
В зале зашептались, зашуршала бумага, задвигались карандаши. Мы тоже стали складывать:
3+8+13+18+23+28+334+38+43+48.
Сначала складывали в уме, потом — столбиком. От волнения всё время сбивались. Нам очень хотелось сосчитать быстрее. Но почему-то получалось медленно. Под конец чуть не подрались.
Но тут фокусник поднял руку:
— Стоп! Никуда не годится, слишком долго считаете. Можно гораздо быстрее. — И он снова согнул палку пополам. — Попрошу убедиться! Перед вами пять пар чисел. Сумма каждой — пятьдесят один, а сумма пяти пар в пять раз больше. Беру пятьдесят один, умножаю на пять. И что я получаю? Я получаю двести пятьдесят пять! А теперь попробуйте сами. Желающие, подходите, подходите, не стесняйтесь!
Мне уж давно хотелось принять участие в опытах, да как-то неловко было. Но Олег подтолкнул меня, и я очутилась на эстраде.
Теперь на палке были уже другие числа: 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35.
— Прошу найти сумму этих чисел, — сказал фокусник, — Быстренько, быстренько!
— В прогрессии восемь членов, — сказала я, — значит, четыре пары. Сумма крайних членов — сорок два. Умножаю сорок два на четыре. Получается сто шестьдесят восемь. Правильно?
— Абсолютно правильно! — подтвердил фокусник. — Сто шестьдесят восемь!
— Но позвольте, — вмешался Сева, — почему вы в Аль-Джебре решаете карликанские задачи? Это же простая арифметика!
— Вот именно, простая. Применяя такой способ, мы упрощаем решение. Обратите внимание: упрощение — один из главных девизов Аль-Джебры. Другой её девиз — обобщение. Правило, которое я сейчас вам показал, справедливо для любой арифметической прогрессии. И следовательно…
— Следовательно, его можно выразить буквами, — перебил Олег.
— Великолепно! — воскликнул фокусник. — Вы попали в самую точку. Итак, размещаю на палке не числа, а буквы. Каждый член прогрессии обозначаю буквой а и снабжаю её порядковым числом, чтобы не было никакой путаницы. Такое число называется индексом и ставится чуть ниже и справа от буквы.
Фокусник подал знак, и буквы а в сопровождении индексов быстро расселись на палке: а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8.
— Внимание! Приступаю к выводу формулы. В этом ряду под а1 и а2 можно подразумевать любые числа.
— Ну конечно, — сказал Сева, — так же как и под всеми остальными.
— Думайте, думайте, молодой человек! — возразил фокусник. — Ведь все эти а — члены одной арифметической прогрессии. Поэтому произвольно могут быть взяты только первые два а. Величины остальных зависят от разности между двумя первыми. Итак, обозначаю разность буквой d. Ведь разность прогрессии постоянна. Тогда
а2 = а1 + d,
а3 = а2 + d;
а4 = а3 + d.
И так до конца прогрессии. Понятно?
— Понятно, понятно! — закричали все.
— Продолжаю! Надеюсь, все заметили, что в этой прогрессии восемь членов. Или четыре пары. Сумму крайних членов записываю так:
a1+a8
Обозначаю сумму всех членов большой латинской буквой Эс — S. Ведь слово «сумма» начинается с этой буквы! Значит,
S=4(a1+a8).
Кто-то спросил:
— А если в прогрессии десять членов? Как тогда вычислить сумму?
— Точно так же, — ответил фокусник. — Только пар станет уже не четыре, а пять, и последний член прогрессии будет a10:
S=5(a1+ a10).
— Стало быть, это справедливо для любого числа членов? — не унимался дотошный зритель.
— Какое число членов вам угодно сложить?
— Пять! Двадцать! Сто семьдесят пять! Двести сорок! Миллион семьсот тысяч! — неслось со всех сторон.
Фокусник закрыл уши руками:
— Тише, тише! Сейчас все ваши просьбы будут исполнены.
Он подождал, когда все успокоятся, и снова заговорил:
— Обозначаю число членов буквой Эн — п. Тогда последний член прогрессии будет а энное — an а сумма крайних членов:
a1+an.
Нетрудно догадаться, что число пар будет в два раза меньше числа п, то есть n/2. Вот и выходит, что сумма членов запишется так:
S = (a1+an) n/2.
— Разрешите спросить, — сказал Олег, — если число членов прогрессии нечётное, как вы его разобьёте на пары?
— А уж над этим вы подумайте сами. Но поверьте честному слову фокусника — формула нисколько не изменится.
Он ещё раз сложил свою палку, и она тут же исчезла. Все захлопали, засмеялись. Фокусник тоже сложился пополам и исчез так же неожиданно, как его палка.
Вот какие фокусы показывают в Аль-Джебре.
Таня.
(Нулик — отряду РВТ)
Здравствуйте, ребята! Письмо Тани нам ужасно понравилось. И все мои ученики сразу захотели стать фокусниками. Но я сказал, что фокусником буду я, а они — моими ассистентами. Их дело — сидеть на палке.
Сначала на палке никто сидеть не хотел. А когда я их уговорил, оказалось, что сидеть не на чем. Потому что мы нигде не могли найти палку, которая складывается.
Я очень расстроился, а все, наоборот, обрадовались и побежали кататься на калитке. Это у нас игра такая. В Арабелле давно уже нет никаких заборов. Случайно остался один по дороге в Римскую провинцию. Там ещё такая скрипучая калитка. Сядешь на неё и ездишь. Вперёд — назад, вперёд — назад!
Ну, я тоже поплёлся. Все стали кататься, а я стоял в сторонке и смотрел. А потом догадался: вот она, палка, которая складывается! То есть не палка, а забор с калиткой. Ведь калитка, если её открыть, доходит до самого забора! А забор сделан из редких поперечных планок. В калитке четыре поперечные планки. Отсчитать ещё четыре на заборе. Выбрать восемь ассистентов — на каждой планке по одному — и открыть калитку до самого конца. Моё предложение понравилось. На палке не хотел сидеть никто, зато на заборе захотели все. Чтобы не было скандала, я отобрал восемь ассистентов по порядку: Единицу, Двойку, Тройку, Четвёрку, Пятёрку, Шестёрку, Семёрку и Восьмёрку.
Сказать по правде, я думал, что это никакая не прогрессия, а натуральный ряд чисел, но у меня другого выхода не было, иначе все бы передрались.
Числа стали на планки. Несколько других ассистентов ухватились за калитку. Я взмахнул рукой, калитка со страшным скрипом поехала к забору… И вот уже у нас получились четыре пары чисел:
4 и 5;
3 и 6;
2 и 7;
1 и 8.
Сложили каждую пару — получилось девять. Вот так штука! Выходит, я сделал открытие: натуральный ряд чисел тоже прогрессия. И разность её равна единице.
