— Как так? — спросил Илюша, вдруг вспомнив с досадой, что он уже слышал от Радикса что-то про это нелепое равенство.
— Чрезвычайно просто! Чтобы доказать эту несомненную истину, я беру квадраты этих чисел, то есть 121 и 144, затем
— 158 —
беру их разность, которая будет 23, и составляю следующее простенькое равенство:
144 — 121 = 276 — 253,
с которым ты, надеюсь, спорить не будешь. Затем я вычитаю из каждой его части по 155, от чего справедливость равенства не нарушается:
144 — 121 — 155 = 276 — 155 — 253,
делаю частично указанные действия и получаю:
144 — 276= 121 — 253.
Затем я прибавляю к каждой части получившегося равенства одну и ту же дробь, что опять-таки не нарушит справедливости моего равенства:
144 — 276 + 529/4 = 121 — 253 + 529/4.
Далее я замечаю, что теперь и левая и правая части равенства представляют собой полные квадраты, а следовательно, я могу написать:
(12 — 23/2)2 = (11 — 23/2)2
Теперь я извлекаю квадратный корень из обеих частей равенства:
12 — 23/2 = 11 — 23/2
Минус двадцать три вторых слева и справа взаимно уничтожаются, и мы получаем…
Командор снова схватил мел и написал громадными цифрами:
— 159 —
— Что и требовалось доказать. Просто и ясно!
Хотя Илюша уже сообразил, что спорить с командором довольно накладно, ибо каждое лишнее возражение ведет только к тому, что он тебе подсовывает еще новую головоломку, однако тут он догадался наконец, что надо не просто отрицать, а доказать, и всерьез, что командорские россказни просто враки. Он внимательно просмотрел весь ход вычислений этого «доказательства» и сказал:
— Так можно доказать все, что хочешь. А в скобках у вас разные знаки! Вот и вся хитрость. Очень просто.
— Хм… — произнес разочарованно командор, — знаки! Знаки! Подумаешь, какая важность! Ну, допустим, что знаки… Ну, а как же насчет моих дробей?
Илюша вздохнул и уставился снова на командорские дроби.
Наверно, он стоял так молча, не отрывая глаз от них, минут десять. Потом сказал:
— Конечно, это можно сделать. Если записать вот этот первый пример с дробью – 16/64, положив, что шесть равняется а, тогда как четыре равняется b, то получим:
(10 + а) / ( 10a + b) = 1 / b
А теперь я буду действовать так:
10b + ab = 10а + b;
9b = 10а — ab;
9b = а(10 — b),
и следовательно,
а = 9b / (10 — b)
и теперь получается неопределенное уравнение. Не очень, конечно, удобное уравнение, потому что оно второй степени, но все-таки решить в целых числах можно. В крайнем случае, я буду подставлять цифру за цифрой вместо b, пока а не получится целым числом, не больше девяти. Вот вы это и сделали. И все остальное тоже делается совершенно так же. Вот и все.
— Хм… — протянул Уникурсал Уникурсалыч. — Вот как! Странная история!
— Я знаю гораздо более странную историю, — возразил
— 160 —
Радикс, — которая касается того, каких блестящих результатов можно добиться с помощью красноречия.
— Это, наверно, очень интересная история! — воскликнул Илюша, у которого отлегло от сердца, когда он смекнул, что, кажется, на этот раз отделался от командорских ехидств. — Расскажи-ка ее, пожалуйста!
— Дело это тоже происходило довольно давно, — начал Радикс, — и, может быть, это было в той самой стране, о которой нам только что рассказывал Уникурсал Уникурсалыч. Но только это было еще несколькими веками раньше, чем история со слонами. Итак, некогда прекрасный и светлый юноша, царевич Аритамвара, сын света и радость мира, захотел ввести в дом свой юную жену. Он пришел к отцу своему, который владел подлунным миром и кротко управлял им. «О царь и повелитель! — сказал царевич. — Я хочу ввести в дом мой молодую и прекрасную царевну, дабы она была супругой моей». — «Хорошо, — отвечал ему царь, — пусть дворцовые женщины введут девушек, и пусть придет наш царский звездочет, владеющий числами: он даст нам добрый совет». Когда все повеления были исполнены, царь сказал: «Пусть владеющий числами даст нам совет». — «О царь, — отвечал ему мудрец, — пусть будет так: я задам семи девушкам один и тот же простой вопрос, а по их ответам ты, покровитель мудрейших, и ты, благородный Аритамвара, сын света, вы сами увидите, как надобно будет поступить». — «Это поистине мудрые речи, — ответил царь звездочету. — Да будет так». Тут дворцовые женщины избрали из сонма девушек тех, которые были прекраснее всех, самого доброго нрава и чьи речи были сладким медом для храбрецов. А владеющий числами приказал подводить их по одной к трону владеющего подлунной. И вот к трону подошла первая. Звездочет спросил ее: «Скажи мне, цветок зари, сколько будет три и три?» — «Шесть», — ответила ему девушка и засмеялась. Тогда владеющий числами приказал увести ее и привести другую. И он задал ей тот же самый вопрос. «Это будет шесть, если я сложу их, — отвечала она, — и это будет тридцать три, если написать их рядом». Третья ответила: «Это будет шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; это будет ничего, если вычесть». Четвертая сказала: «Шесть, если я сложу; тридцать три, если напишу рядом; ничего, если вычту; девять, если умножу». Пятая отвечала: «Шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; ничего, если вычесть; девять, если умножить; единица, если их разделить друг на друга». Шестая сказала так: «Шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; ничего, если вычесть; девять, если их перемножить; единица, если их поделить друг на друга, и это будет
— 161 —
двадцать семь, если возвести три в третью степень. Так учит великая богиня чисел». Седьмая отвечала звездочету: «Пусть великая богиня чисел откроет сыну света свои прекрасные тайны! Вот как говорит она: это будет шесть, это будет тридцать три, это будет ничего, это будет девять, это будет единица, это будет двадцать семь и это будет тридцать шесть двадцать пятых с небольшим, если я из трех извлеку корень третьей степени. Вот как говорит пресветлая богиня чисел, та, которая улыбается, когда земледелец считает свою скотину, царь свои сокровища, а звездочет светила небесные, что сияют кротким светом и проходят свои небесные пути по чудным законам, которые любезны великой богине. Вот каковы слова благодатной богини чисел, но это еще не все, ибо ее речи суть многие, и все они прекрасны». Тогда звездочет сказал: «О великий царь, и ты, сын света! Вы слышали разные ответы на мой вопрос, и теперь вы можете решить сами, которая из девушек достойна стать супругой царевича». Царь сказал: «Я вижу, что милые и прелестные красавицы моей страны недаром провели свою нежную юность, они знают мудрость, и сердце мое радуется. Пусть сын мой, царевич Аритамвара, выбирает теперь сам, ибо это будет его супруга». Царевич низко поклонился своему отцу и премудрому звездочету и сказал: «Я выберу первую. Она очень хорошо смеется. И мне нравится, что она говорит коротко и ясно».
Илюша захлопал в ладоши от восторга, а Уникурсал Уникурсалыч как-то рассеянно повернулся на одной ножке и втихомолку исчез. А Илюша посмотрел на Радикса и спросил:
— Есть еще такие дроби, из которых получается колесо, вроде вот этого из одной седьмой?
— Как не быть! Например, одна семнадцатая. Только там число будет подлиннее, потому что
1/17 = 0,0588235294117647…
То же самое будет и с одной двадцать девятой, только там после запятой будет уже целых двадцать восемь цифр. Для этого знаменатель дроби должен быть простым числом, а период его должен заключать в себе на единицу меньше цифры, чем единиц в ее знаменателе. У тебя была одна седьмая, а в периоде было шесть цифр. Для одной семнадцатой в периоде будет шестнадцать цифр. Такой период называется «полным периодом», или «совершенным».
Илюша помолчал и вдруг сказал с жаром:
— А все-таки он ужаснейший человек, этот командор!
— 162 —
— Да что ты! — усмехнулся Радикс. — Конечно, он насмешник, а все-таки сознайся: если бы он так тебя не запутал и не разозлил, ты бы, пожалуй, не догадался насчет неопределенного уравнения и насчет одной седьмой? А?
Илюша посмотрел на своего приятеля с негодованием. Он хотел ему сказать, что тут ничего трудного нет и что он все равно бы догадался, но почему-то покраснел и ничего не сказал.
— Н-да… — неопределенно промычал Радикс. — Все это, конечно, очень приятно, трогательно, всепохвально, умно, тонко, глубоко и широко. А скажи, пожалуйста, кстати, не знаешь ли ты, как поживают наш почтенный судья дон Базилио и трое друзей дона Диего?
