В этом фильме есть задача о покраске домов: «Если я могу покрасить дом за три часа, а ты — за пять, сколько нам потребуется времени на покраску дома, если мы будем работать вместе?».
На экране мы видим, как бейсболисты дают различные глупые ответы. «Все очень просто, пять умножить на три, так что это пятнадцать». «Нет, нет, нет, посмотрите. Это займет восемь часов: пять плюс три, вот и восемь». После еще нескольких промахов один игрок наконец отвечает правильно: 1⅞ часов.
Родни Дэнджерфилд (1921–2004) — популярный американский комедийный актер. Сниматься стал поздно. Известен благодаря фильмам «Гольф-клуб» (1980), «Легкие деньги» (1983) и «Снова в школу» (1986). Прим. перев.
Книги о великих уравнениях: M. Guillen, Five Equations That Changed the World (Hyperion, 1995); G. Farmelo, It Must Be Beautiful (Granta, 2002) и R. P. Crease, The Great Equations (W.W. Norton and Company, 2009).
Множество подобных примеров обсуждается в статье S. Gandz, The algebra of inheritance: A rehabilitation of al-Khuwarizmi, Osiris, Vol. 5 (1938), рр. 319–391.
Подход Аль-Хорезми к решению квадратных уравнений описан в книге V. J. Katz, A History of Mathematics, 2nd edition (Addison Wesley Longman, 1998), рр. 244–249.
Для простоты выражение x2 я назвал функцией, но было бы точнее говорить об отображении x в x2. Я надеюсь, что это сокращение не запутает читателя, поскольку подобные надписи мы видим на кнопках калькулятора.
Рекламный ролик о функциях водяных струй в аэропорту Детройта, созданный WET Design, можно посмотреть на сайте http://www.youtube.com/watch?v=VSUKNxVXE4E.
Уилл Хоффман и Дерек Бойл сняли интригующее видео о параболах и их экспоненциальных кузинах, кривых, называемых цепной линией (линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь, — отсюда и название). См. WNYC/NPR Radio Lab presents Parabolas (etc.) на сайте http://www.youtube.com/watch?v=rdSgqHuI-mw.
41. Историю о приключениях Бритни Галливан со складыванием бумаги см. в B. allivan, How to fold a paper in half twelve times: An ‘impossible challenge’ solved and explained, Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002 на сайте http://pomonahistorical.org/12times.htm.
Здесь речь идет о том, что если процентная ставка депозита выше ставки по кредиту, то через несколько лет сумма на депозите может погасить сумму кредита. Прим. ред.
Как правило логарифм по основанию 10 записывают как lg, но на калькуляторе кнопка «log x» обозначает десятичный логарифм. Прим. ред.
42. Для справок и дальнейшего обсуждения нотных гамм и нашего (почти) логарифмического восприятия высоты звука см. J. H. McDermott and A. J. Oxenham, Music perception, pitch, and the auditory system, Current Opinion in Neurobiology, Vol. 18 (2008), pp. 1–12 на http://en.wikipedia.org/wiki/Pitch_(music); http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_scale; и http://en.wikipedia.org/wiki/Piano_key_frequencies.
Для подтверждения того, что наше врожденное арифметическое мышление также и логарифмическое см. S. Dehaene, V. Izard, E. Spelke, and P. Pica, Log or linear? Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures, Science, Vol. 320 (2008), pp. 1217–1220 на сайте http://www.sciencedaily.com/releases/2008/05/080529141344.htm.
Прим. ред.: О связи математики и музыки см. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000. Эта книга не только для тех, кто любит математику или искусство, но и для тех, кто желает задуматься о природе прекрасного и красоте науки. Настоятельно рекомендую эту книгу.
Оказывается, древние вавилоняне, индийцы и китайцы уже за несколько веков до Пифагора и греков обладали знаниями, содержащимися в теореме Пифагора. Для получения дополнительных сведений об истории и значении теоремы, а также обзор множества ее изобретательных доказательств см. книгу E. Maor, The Pythagorean Theorem (Princeton University Press, 2007).
Прим. ред.: Аналогом данной книги на русском языке может служить книга Литцман В. Теорема Пифагора. М.: ГИФМЛ, 1960.
На странице 13 своей книги Маор объясняет, что слово «гипотенуза» означает «натянутая под», и указывает, что это имеет смысл, если считать, что гипотенуза прямоугольного треугольника находится внизу (см. евклидово доказательство теоремы Пифагора). Он также отмечает, что эта интерпретация хорошо вписывается в китайское слово, обозначающее гипотенузу, «сянь» (hsien) — струна, натянутая между двумя точками (как в лютне).
Дети и их родители насладятся съедобными иллюстрациями теоремы Пифагора, предложенными Джорджем Хартом на его постере Pythagorean crackers («Пифагорейские крекеры») для музея математики по адресу http://momath.org/home/pythagorean-crackers/.
Вот рассуждения, пропущенные во втором доказательстве. Возьмем равенство a/d = c/a и преобразуем его в d = a2/c. Аналогично преобразуя другое равенство, получим e = b2/c. Наконец, подставив выражения для d и e в равенство c = d + e, получим c = a2/c + b2/c. Теперь умножим обе части последнего равенства на c и выведем искомую формулу c2 = a2 + b2.
Георг Риман (1826–1866) — немецкий математик. Внес огромный вклад сразу в несколько разделов математической науки. Положил начало геометрическому направлению в теории аналитических функций, вместе с Огюстеном Коши сформулировал теорию интегралов. Развил комплексный анализ и теорию чисел. Прим. перев.
Все 13 книг Elements в одном удобном томе с большим количеством иллюстраций: Euclid’s Elements, edited by D. Densmore, (Green Lion Press, 2002). Еще один отличный перевод в формате PDF: http://farside.ph.utexas.edu/euclid.html.
Прим. ред.: В английской традиции книги Евклида называются Elements («Элементы»), в отличие от русской традиции, где книги Евклида имеют название «Начала». Русское полное издание «Начал» Евклида: Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М.: ГТТИ, 1948–50.
Бенедикт Спиноза (1632–1677) — нидерландский философ-материалист, натуралист, один из главных представителей философии Нового времени. Считал, что мир — закономерная система, которая до конца может быть познана геометрическим методом. Прим. перев.
Дополнительные сведения о Томасе Джефферсоне, о его преклонении перед Евклидом и Ньютоном и использовании им аксиоматического подхода при написании Декларации независимости, можно найти в книге I. B. Cohen, Science and the Founding Fathers, (W. W. Norton and Company), 1995 и J. Fauvel, Jefferson and mathematics на http://www.math.virginia.edu/Jefferson/jefferson.htm.
В этой главе я умолчал о ряде тонкостей в двух представленных доказательствах. Например, в доказательстве о равностороннем треугольнике неявно предполагается (как сделал Евклид), что две окружности пересекаются в какой-то определенной точке, которую мы обозначили С. Но нет никаких аксиом Евклида, подтверждающих это свойство, — нужна дополнительная аксиома о непрерывности окружностей. Бертран Рассел, в частности, отметил этот пробел в статье B. Russell, The Teaching of Euclid, Mathematical Gazette, Vol. 2, No. 33 (1902), рр. 165–167, доступна по адресу http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Extras/Russell_Euclid.html.
Другая тонкость в доказательстве того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, заключается в безоговорочном использовании постулата о пересечении параллельных прямых третьей. Этот постулат позволил нам построить линию, параллельную основанию треугольника. Но в другой геометрии (неевклидовой) может не быть ни одной линии, параллельной заданной, или существовать бесконечно много таких линий. В геометриях, столь же логически последовательных, как и Евклидова, углы треугольника не всегда равны 180 градусам. Таким образом, приведенное здесь доказательство Пифагора больше чем просто элегантное, оно говорит о глубинной природе самого пространства. Для получения дополнительных комментариев по этим вопросам см. блог A. Bogomolny, Anglesin triangle add to 180°: http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/AnglesInTriangle.shtml и статью T. Beardon, When the angles of a triangle don’t add up to 180 degrees по адресу http://nrich.maths.org/1434.
Дарт Вейдер и Люк Скайуокер — персонажи культовой саги Джорджа Лукаса «Звездные войны». Прим. перев.
Теория заговора — взгляд на некоторые общественно-значимые события или ход истории в целом как на результат заговора со стороны определенной группы людей, управляющих этим процессом из корысти, амбиций или иных интересов. Прим. ред.
