1·i=i.
— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвёртую степень? — удивился Олег.
— Отчего же! — возразила Мнимая Единичка. — Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую… Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17.
— Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, — сказала Мнимая Единичка. — Значит, i в девятой тоже равно i…
— Понимаю! — перебил Сева. — Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно i.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i24. А чтобы вам легче было, загляните в чертёж мнимой карусели.
Долго ещё любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:
— Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!
— Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.
— А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? — спросил Олег. — Два i три i, четыре i?
— На нашей карусели вы этого не увидите, — сказала Мнимая Единичка. — Да оно и к лучшему. Нельзя же всё сразу…
— Всякому овощу своё время? — подмигнул Сева.
— Пожалуй, — улыбнулась Мнимая Единичка.
Мы поблагодарили её и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу лопать себя по лбу.
— Извините, пожалуйста, — сказал он, обернувшись, — а зачем вообще нужны мнимые числа?
— Это вы поймёте, когда начнёте решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.
— На что нужны уравнения с мнимыми ответами? — буркнул Сева.
— Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов… Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.
— Но почему же тогда вас называют мнимыми?
— По привычке, — грустно ответила буковка i. — Так нас окрестил французский учёный Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.
— Например, необходимые числа, — сказал Олег.
— О! Это было бы чудесно! — вздохнула Мнимая Единичка.
Мы ещё раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.
Таня.
(Сева — Нулику)
Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживёшь в Аль-Джебре — не то ещё узнаешь!
Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока ещё первой степени. Но и это не так уж мало.
Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъёмными кранами. Механизация!
Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. «Жирафы» то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, всё, что понадобится.
Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.
Что нам бросилось в глаза — это иксы. Их здесь видимо-невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись.
Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:
ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ! ВО ВРЕМЯ АЛЬ-ДЖЕБРЫ И АЛЬ-МУКАБАЛЫ к уравнениям не подходить!
Высоко-высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица — буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке — по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.
Под краном чинно стояли Икс в чёрной маске, Двойка и Шестёрка. Они образовали такое уравнение: x-2=6.
Регулировщица медленно опустила один флажок, и так же медленно наклонил свою жирафью шею кран с большим крюком на конце. Крюк осторожно подцепил Двойку, которая торопливо прихватила свой минус. Регулировщица помахала флажком, и кран замер. Потом она крикнула: «Аль-джебр!» — прямо как у нас кричат «майна» или «вира». И вот уже Двойка с минусом заболтала ножками и поплыла к правой части уравнения.
Когда она поравнялась со знаком равенства, регулировщица скомандовала:
«Переменить знак!» Двойка быстро положила минус в карман и вынула оттуда знак плюс. И вот уже она рядом с Шестёркой в правой части равенства: x = 6 + 2.
А через секунду вместо этого мы увидели:
x − 8.
Чёрная маска упала, Икс поднял её, низко поклонился Ка и Эр и скрылся. А мы перешли к другому крану. Там уже стояло такое уравнение:
Зx + 6 = 12.
Снова крановщица нажимала на рычаги, снова регулировщица махала флажками, кричала: «Аль-джебр!» — и скоро под краном появилось вот что:
Зx =12 − 6.
Мы переглянулись.
— В чём дело? — спросила Эф. — Что-нибудь непонятно?
— Непонятно, — признался Олег. — До сих пор нам показывали только такие задачи, где отрицательное число переносится из левой части равенства в правую и превращается в положительное. Действие это называется «аль-джебр», по-нашему — восстановление. На этот раз в левой части равенства было положительное число шесть, и его перенесли в правую часть со знаком минус. При чём же здесь восстановление?
— Законный вопрос, — развела руками Эф. — Но вспомните, что «аль-джебр» — слово, пришедшее к нам из далёкой древности. А древние слова по дороге часто теряют своё первоначальное значение. Взять хоть слово «чернила». Поначалу чернила были только чёрные. Сейчас есть и красные, и зелёные, и синие, и фиолетовые. Но никто же не называет их ни краснилами, ни синилами!
— Как интересно! — сказала Таня. — Таких слов, наверное, много.
— Перочинный ножик! — вспомнил я. — Раньше им перья чинили, а теперь карандаши.
— Правильно! — сказала Эф. — То же самое случилось и со словом «аль-джебр». Мухаммед ибн Муса применил его тогда, когда отрицательные числа были бесправными. Перенося их в правую часть равенства с положительным знаком, он восстанавливал их в правах. Но отношение к отрицательным числам давно уже переменилось. И теперь понятие «аль-джебр» расширилось. Оно означает не только перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую с положительным знаком, но и вообще перенос любого числа с обратным знаком. Но вернёмся всё-таки к нашему уравнению, — закончила свою речь Эф.
Мы посмотрели на площадку. Там теперь вместо 3x=12-6 стояло:
Зx = 6.
Странное дело: уравнение решено, а на Иксе по-прежнему чёрная маска.
— Ошибаетесь, — сказала Эф. — Решить уравнение — значит вычислить, чему равен один икс. Мы же пока знаем, чему равны три икса.
— Ну, это нетрудно, — сказал Олег. — Чтобы вычислить икс, надо шесть разделить на три.
И словно в ответ на его слова, кран приподнял число Шесть над землёй и плавно опустил на двухэтажную тележку. Потом крюк подцепил коэффициент при Иксе — Тройку, перенёс её в правую часть равенства и поставил под числом Шесть:
Тележку быстро откатили, и на месте дроби появилась Двойка:
x = 2.
— Э-э, нет, — запротестовал я, — так не годится. Ведь числа переносятся в правую часть равенства с обратным знаком. Почему же это Тройку перенесли с тем же?
— Да потому, что в этом уравнении Тройка не слагаемое, а коэффициент при Иксе. А коэффициент — это множитель, не так ли? Коли три в левой части множитель, так в правой оно превращается в делитель. Стало быть, правило сохранилось, потому что деление и умножение такие же обратные действия, как сложение и вычитание.
Не удаётся мне их подловить на ошибке. Пришлось прикусить язык и вместе со всеми перейти к следующему уравнению. Его решал уже не один, а два крана. В каждом сидела крановщица. А регулировщица, как и прежде, была всего одна. Наверное, многостаночница.
Уравнение было такое:
6х − 7 = 2x + 8 −x.
На этот раз регулировщица дала команду подлиннее: «Аль-джебр! Аль-мукабала!» И сейчас же один кран подцепил все иксы справа вместе с коэффициентами и перенёс с обратными знаками в левую часть уравнения. В то же время второй кран подхватил Семёрку с минусом и перенёс в правую часть. Семёрка тоже переменила знак минус на плюс:
