Это значит, что Черчилль сужался до ноля. А теперь посмотрим, какого цвета был Уинстон Черчилль? Возьмем любой световой луч, отраженный от него, и выберем фотон. Умножим равенство (7) на длину волны и получим:
длина волны фотона Черчилля = 0 . . . . . . . . . . (10).
Однако умножив равенство (7) на 640 нанометров, мы видим, что
640 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(11).
Соединив равенства (10) и (11), мы получим, что длина волны фотона Черчилля = 640 нанометров.
Это означает, что данный фотон, как и любой другой, исходящий от мистера Черчилля, — оранжевый. Таким образом, Уинстон Черчилль имеет ярко-оранжевый цвет.
Суммируя полученные результаты, можно сказать, что мы математически доказали, что Уинстон Черчилль не имеет рук и ног, вместо головы у него пучок зелени, он сужается до точки и имеет оранжевый цвет. Ясно, что Уинстон Черчилль — морковка. (Есть и более простой способ доказать это. Добавление 1 к обеим частям уравнения (7) дает равенство 2 = 1. Уинстон Черчилль и морковка — разные вещи, поэтому они — одно и то же. Однако такое заключение менее удовлетворительно.)
Что не так в этом доказательстве? Только один шаг имеет порок — тот, благодаря которому мы переходим от уравнения (4) к уравнению (5). Мы делим на (a — b). Однако осторожно! Поскольку и a, и b равны 1, a — b = 1 — 1 = 0. Мы делили на ноль и в результате получили смешное равенство 1 = 0. Отсюда следует, что мы можем доказать любое утверждение, независимо от того, верно оно или ложно. Вся система математики развалилась.
Неосмотрительное использование ноля обладает властью уничтожить логику.
Приложение B
Золотое сечение
Разделите отрезок прямой на две части, так, чтобы отношение меньшей части к большей было бы равно отношению большей части ко всему отрезку. Для простоты будем считать, что меньшая часть имеет в длину 1 фут, а большая — x футов. Очевидно, что длина всего отрезка в этом случае x + 1. Придав отношению алгебраический вид, получим, что отношение меньшей части к большей равно 1 / x, а отношение большей части ко всему отрезку — x / (1 + x).
Поскольку отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому отрезку, мы можем приравнять отношения друг другу, что дает уравнение:
x / (1 + x) = 1 / x.
Мы стремимся решить это уравнение в отношении x, что и есть золотое сечение. Первый шаг — умножить обе части уравнения на x, что дает
x2 / (1 + x) = 1.
Умножив потом обе части на (1 + x), получаем
x2 = 1 + x.
Вычтя 1 + x из обеих частей уравнения, получаем
x2 — x — 1 = 0.
Теперь можно решить квадратное уравнение:
х = 1±√(1 + 4) / 2.
Мы имеем два решения, однако только первое из них, примерно равное 1,618, является положительным числом, только оно имело смысл для греков. Таким образом, золотое сечение приблизительно равно 1,618.
Приложение С
Современное определение производной
В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x0, обозначаемой как f '(x), таково:
f '(x) = lim f(x + ε) — f(x) / ε при ε → 0.
Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: f '(x) = x2 + x + 1. Производная этой функции равна
f '(x) = lim (x2 + 2εx + ε2 + x + ε+ 1 — x2 — x — 1) / ε при ε → 0..
Теперь x2 взаимно уничтожается с –x2, x аннигилирует с –x, а 1 — с –1. Остается
f '(x) = lim (2εx + ε + ε2) / ε при при ε → 0.
Разделив на ε, мы помним, что ε всегда отлично от 0, потому что мы еще не вычислили предел. Получаем
f '(x) = lim (2x + 1 + ε) при ε → 0.
Теперь мы находим предел и позволяем ε приблизиться к 0. Получаем
f '(x) = 2x + 1 + 0 = 2x +1
Это и есть ответ, который мы ищем. Всего лишь небольшой сдвиг в мышлении, но он и составляет всю разницу.
Приложение D
Кантор пересчитывает рациональные числа
Чтобы показать, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных, Кантор должен был всего лишь предложить разумный способ «рассадки». Именно это он и проделал.
Как вы можете вспомнить, рациональные числа — это набор чисел, которые могут быть выражены как a / b, где a и b — целые числа (при b, конечно, отличном от ноля). Для начала рассмотрим положительные рациональные числа.
Представьте себе числовую решетку — две числовые оси, пересекающиеся в нулевой точке, совсем как декартовы координаты. Поставим ноль в начало и любой другой точке решетки соотнесем рациональное число x / y, где x — координата точки по оси X, а y — координата по оси Y. Поскольку числовые оси уходят в бесконечность, каждое положительное сочетание x и y имеет точку на решетке (рис. 58).
Рис. 58. Нумерация рациональных чисел
Теперь давайте составим схему рассадки положительных рациональных чисел. В качестве места 1 начнем с точки 0 на решетке. Затем перейдем к точке 1 / 1 — это место 2, затем к точке 1 / 2 — это место 3, затем — к 2 / 1 (что, конечно, то же самое, что число 2) — это место 4, затем к 3 / 1 — это место 5. Мы можем путешествовать туда и сюда по решетке, пересчитывая по дороге числа. Это дает такую схему рассадки (место — рациональное число):
1 . . . . . . . . . . 0
2 . . . . . . . . . . 1
3 . . . . . . . . . . 1/2
4 . . . . . . . . . . 2
5 . . . . . . . . . . 3
6 . . . . . . . . . . 1
7 . . . . . . . . . . 1/3
8 . . . . . . . . . . 1/4
9 . . . . . . . . . . 2/3
И так далее, и так далее.
Со временем все числа получат места, некоторые — даже два. Удалить дубликаты легко — просто пропустить их при составлении схемы.
Следующий шаг — удвоить список, добавив отрицательные после соответствующих положительных рациональных чисел. Это даст нам схему рассадки:
Место — рациональное число
1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 . . . . . . . . . . . . . . . . .–1
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1/2
5 . . . . . . . . . . . . . . . — 1/2
6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7 . . . . . . . . . . . . . . . . .–2
8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9 . . . . . . . . . . . . . . . . .–3
И так далее, и так далее.
Теперь все рациональные числа — положительные, отрицательные и ноль — имеют места. Поскольку никто не остался стоять и все места заняты, рациональных чисел столько же, сколько счетных.
Приложение E
Сделайте собственную машину времени для кротовой норы
Это легко — просто следуйте этим несложным инструкциям.
Шаг 1. Создайте небольшую кротовую нору. Оба ее конца будут в одной и той же точке времени.
Шаг 2. Прикрепите один конец кротовой норы к чему-нибудь очень тяжелому, а другой — к космическому кораблю, двигающемуся с 90% скорости света. Каждый год на корабле эквивалентен 2,3 года на Земле, часы на обоих концах кротовой норы будут идти с разной скоростью.
Шаг 3. Подождите немного. Через 46 лет по земному времени направьте кротовую нору к дружественной планете. Путешествие по кротовой норе приведет вас из 2046 года на Земле в 2020 год на Зилоксе или наоборот.
Шаг 4. Если вы достаточно сообразительны, вы могли начать планировать эту миссию заранее. Вы могли отправить на Зилокс послание задолго до того, как отправились в путь, организовав полет корабля с Зилокса навстречу, начавшийся в 1974 году (по летоисчислению Зилокса). Тогда в 2020 году по времени Зилокса другая кротовая нора могла бы переправить вас на Землю в 1994 год (по земному времени). Если вы будете пользоваться обеими кротовыми норами, то сможете перепрыгнуть из 2046 года (по Земле) в 2020-й (по Зилоксу) и далее в 1994-й (по Земле): вы вернетесь обратно во времени более чем на полстолетия!
