— Нет, — сказал Илюша, — теперь я всегда буду помнить об этом!
— Смотри! — сказал Радикс. — Есть ведь такая поговорка: «Давши слово, держись, а не давши — крепись».
— Нет, нет, — сказал горячо Илюша, — нечего тут крепиться! Я не забуду. Только мне бы хотелось еще кое-что узнать про Паскалев треугольник и про гору Пюп-де-Дом.
— Про горку эту мы поговорим в свое время. А насчет треугольника я вот что хотел у тебя спросить. Ты обратил внимание на его второй столбец?
Илюша посмотрел на табличку
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10
1 4 10
1 5
1
и сказал:
— Во втором столбце просто стоят цифры по порядку: раз, два, три, четыре, пять… Что же тут интересного?
— Кое-что любопытное есть и тут. Скажи-ка, пожалуйста, а как бы ты определил этот ряд, если бы тебя спросили, как он устроен?
— 185 —
— Устроен он, по-моему, очень просто. В начале стоит единица, а каждый следующий его член получается путем прибавления той же единицы к предыдущему члену.
— Правильно. А знаешь ли ты, как называется ряд, устроенный по этому правилу? Он называется арифметической прогрессией.
— Ах да! — ответил Илюша. — Это я знаю. Я только не догадался, что ты именно об этом спрашиваешь.
— Значит, ты, наверное, знаешь и то, что такое геометрическая прогрессия?
— Конечно, — ответил мальчик. — Она очень похожа на арифметическую, только там каждый член получается не прибавлением какой-нибудь величины, а умножением на что-нибудь.
— А помнишь ли ты, как называется величина, которая прибавляется к каждому члену арифметической прогрессии, и та, на которую умножается каждый член геометрической?
— Помню. В арифметической эта величина называется разностью прогрессии, а в геометрической — знаменателем прогрессии.
— Ну-ка, — сказал Радикс, — напиши мне арифметическую прогрессию. Первый член у нее, конечно, будет единица, а разность — два.
Илюша взял мел и написал:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19…
— А теперь геометрическую.
Илюша написал:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512…
— Прелестно! — заметил Радикс. — Это какие у тебя прогрессии?
— Возрастающие.
— В высшей степени очаровательно! Ну, а давай-ка теперь убывающие.
Илюша написал следующее:
1, —1, —3, —5, —7, —9, —11, —13 …
а затем:
1, ½, ¼, ⅛, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 …
— Ну-с, юноша, — сказал после этого Радикс, — а способны ли вы дать мне определение той и другой прогрессии?
— 186 —
— Способен. Арифметической прогрессией называется ряд чисел, из которых каждое получается из предыдущего прибавлением постоянного положительного или отрицательного числа, которое называется разностью прогрессии. Геометрической прогрессией называется ряд чисел, из которых каждое равняется предыдущему, умноженному на постоянное число, целое или дробное, которое называется знаменателем прогрессии. Да это ты мне целый экзамен устраиваешь!
— Терпи, казак, — отвечал Радикс. — Без этого дальше и носа сунуть не дадут. Впрочем, может быть, тебе хочется, чтобы тебя не я, а Уникурсал Уникурсалыч экзаменовал?
— Нет уж, спасибо! — воскликнул испуганный Илюша. — Ну его совсем! Начнет опять нести свою околесицу да язвить, пока в голове полная каша не получится, а потом изволь в этой путанице разбираться.
— Раз мы с тобой вспомнили о нем, так не хочешь ли ты, кстати, решить две его задачки, не то что очень трудные, но все-таки над которыми надо немножко призадуматься? Вот что гласит первая: «В ночь на восемнадцатое июля тысяча пятьсот десятого, если не ошибаюсь, года большой корабль знаменитого флорентийского мореплавателя Америго Веспуччи вошел в устье некоторой большой реки за океаном и стал на якорь. Ночью же с борта корабля была спущена веревочная лестница с пятнадцатью деревянными перекладинами, доходившая как раз до адмиральской шлюпки, на которой Америго и отправился немедленно на берег. Расстояние между смежными перекладинами равнялось одному с четвертью английскому футу, который примерно равен тридцати с половиной сантиметрам. На рассвете начался прилив, вследствие которого вода в реке стала подниматься, будем считать с шести часов утра, со средней скоростью одного метра в час. Спрашивается: на сколько ступеней должен был подняться по веревочной лестнице в четверть девятого утра восемнадцатого июля тысяча пятьсот десятого года знаменитый и отважный мореход Америго Веспуччи, как раз в это время вернувшийся на своей адмиральской шлюпке с берега?»
— Одну минуту, — сказал Илюша. — Я запишу.
— Запиши! Это в таких случаях первое дело!
Илюша начал было записывать, потом остановился.
— Так ведь это… — воскликнул он. — Фу, какая ерунда! Ха-ха-ха!
— Ну ладно! — засмеялся в ответ Радикс. — А вот и другая задачка: «В старину некий министр должен был выбрать одного из своих подчиненных, чтобы послать его за границу с очень важным порученьем. Так как этот старик министр был уверен, что для этого дела требуется быстро соображать и ре-
— 187 —
шать, то, выбрав троих самых способных молодых людей, он велел им стать посредине его кабинета на ковре, так, чтобы они стояли в трех углах некоего равностороннего треугольника. Затем он сказал им: «У меня есть здесь шесть бумажных колпачков: три белых и три зеленых. Сейчас слуги унесут отсюда свет, и я в наступившей темноте надену на голову каждого из вас один из этих колпачков. Затем слуги вновь внесут зажженные канделябры, и тогда каждый из вас, кто увидит у кого-нибудь зеленый колпачок, должен поднять руку. После этого тот, кто догадается, какого цвета колпачок у него на голове, должен опустить руку. Это и будет тот, кому я дам важное поручение». Слуги унесли свет, министр ощупью надел на каждого из испытуемых колпачок, и свет принесли снова. Как только в кабинете министра стало светло, все трое немедленно подняли руки. Прошло еще секунды две, и один из них опустил руку. Спрашивается: какого цвета были на каждом из троих колпачки и как догадался о цвете своего колпачка самый догадливый, то есть тот, кто опустил руку?»
— Постой-ка, — сказал Илюша, — я так понимаю: если на всех были бы белые колпачки, то ведь никто не поднял бы руку?
— Так! — отвечал Радикс.
— Если только на двоих будут белые колпачки, а на третьем зеленый, то совершенно ясно, что руки поднимут… А если на двоих зеленые, то какая же будет разница с тем случаем, когда… Ах, догадался! Ясно! Ты понимаешь, я было запутался, потому что мне показалось, что два последних случая совершенно одинаковы. Но когда я подумал о том, что тот, самый догадливый, посмотрев на остальных, тут же и опустил руку, я сообразил, в чем дело. Хорошая задачка!
— Задачка недурная, — усмехнулся Радикс — Однако пора нам вернуться к нашим прогрессиям, где все так ясно и просто. Может быть, ты еще припомнишь, чему равняются их суммы?
— Помню, — сказал Илюша не очень решительно, — только мы еще не проходили прогрессий… И я, понимаешь ли, сам… то есть забрался в учебник, ну и… немного покопался. Так что насчет суммы…
— Как же теперь быть? — спросил его, состроив очень сочувственную мину, Радикс. — Положение получается прямо жуткое! Давай попробуем?
— Давай, — отвечал Илюша, упорно глядя не на своего друга, а на пол.
Но он тут же вскинул в удивлении голову, ибо сбоку раздался быстрый топот маленьких ножек и к ним вбежала целая толпа пресмешных карликов в пестрых колпачках. За ними
— 188 —
шла вперевалку какая-то толстая особа, довольно невзрачного вида, жалобно подпиравшая щеку рукой.
Один из карликов выбежал вперед, подбежал к Радиксу, стащил с головы свой пестрый колпачок, выставил вперед правую ножку в красном сафьяновом сапожке и весело воскликнул:
— Привет, Радикс Кристофович! Привет вам, славная Сторона! Арифметическая прогрессия имеет честь явиться по вашему глубокомысленному пожеланию в полном составе! Dixi!
— Молодцы ребята! — ответствовал им Радикс.
Тут из толпы карликов выскочил еще один очень худенький человечек, все тело которого, казалось, состояло из одной тоненькой черты. Вместо головы у него тоже была черточка, вместо рук и ног — тоже по черточке. Он стал в очень важную позу, строго и серьезно взмахнул своей черточкой-ручонкой. Сейчас же карлики, которые стояли сзади, вытащили из-за спины свои охотничьи рога и заиграли очень веселый марш, а остальные мигом пустились в пляс, а затем пропели очень звонко и весело своими тоненькими, словно флейта, голосами:
— Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!
Илюша смотрел как очарованный на этот превосходный балет, а когда они умолкли, очень вежливо сказал человечку черточке:
— Вы, если я не ошибаюсь, разность этой прекрасной прогрессии?
Человечек в знак согласия поклонился Илюше.
— У вас прекрасный хор. И танцоры замечательные! И оркестр тоже очень хороший! Но почему вы назвали Радикса Кристофовичем да еще славной Стороной? И что значит слово dixi?
