155
Пошаговые инструкции с фотографиями для некоторых занятий, описанных в этой главе, можно найти в статье How to explore a Mobius strip на http://www.wiki-how.com/Explore-a-Mobius-Strip. Джулиан Флерон предлагает множество других идей: бумажные гирлянды, сердечки и звездочки, для создания которых используются свойства ленты Мебиуса. См. Recycling Mobius, http://artofmathematics.wsc.ma.edu/sculpture/workinprogress/Mobius1206.pdf.
Кроме того, интересные бумажные модели описаны в классической книге S. Barr, Experiments in Topology (Crowell, 1964).
Основы топологии изложены в авторитетной работе R. Courant and H. Robbins (revised by I. Stewart), What Is Mathematics? 2nd edition (Oxford University Press, 1996). Увлекательный обзор этой области математики дан в книге M. Gardner, The Colossal Book of Mathematics (W. W. Norton and Company, 2001). В ней рассматриваются бутылки Клейна, узлы, сцепленные бублики и прочие занимательные примеры из топологии. Прекрасное современное изложение представлено в книге D. S. Richeson, Euler’s Gem (Princeton University Press, 2008). Более сложная подача материала, которая все же будет понятна тем, кто имеет прочные школьные знания по математике, представлена в главах по алгебраической топологии и дифференциальной топологии книги T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), pp. 383–408.
Прим. ред.: Популярные книги по топологии для начинающих: Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982; Васильев В. А. Введение в топологию. М.: ФАЗИС, 1997; Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир, 1983; Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир, 1972; Прасолов В. В. Наглядная топология. М.: МЦНМО, 1995; Стюарт Я. Топология. // Квант. 1992. № 7.
Принимая во внимание, что окружность и квадрат представляют собой топологически эквивалентные кривые, возникает вопрос: какие кривые будут топологически отличными друг от друга? Самый простой пример — отрезок прямой. Чтобы доказать это, предположим, что вы движетесь в одном направлении по окружности, квадрату или любой другой замкнутой кривой. Вы всегда будете возвращаться в исходную точку, что неверно при движении по отрезку прямой. Поскольку это свойство неизменно для всех преобразований, при которых сохраняется топология объекта (то есть при непрерывных деформациях, когда непрерывны и обратные деформации), и различается для замкнутых кривых и отрезков прямой, делаем вывод о том, что замкнутые кривые и отрезки прямой являются топологически различными объектами.
Видеоролики Ви, о которых шла речь в этой главе, — «Музыкальная шкатулка Мебиуса» и «История ленты Мебиуса: Винди и мистер Уг» — можно найти на YouTube. Со множеством других увлекательных путешествий в математику можно ознакомиться на сайте Ви http://vihart.com.
Работы Морица Эшера, Макса Билла и Кейдзо Ушио, в основе которых лежит лента Мебиуса, можно найти в интернете, введя в поисковую строку имя художника и слово «Мебиус». Использование ленты Мебиуса в литературе, искусстве, архитектуре и скульптуре описано в блоге Иварса Петерсона Mathematical Tourist, где приводятся фотографии и пояснения, http://mathtourist.blogspot.com/search/label/Moebius%20Strips.
Прим. ред.: Прекрасную статью «Математическое искусство М. К. Эшера» см. на http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html.
Эта библиотека в настоящий момент находится в стадии строительства. Информацию о разработке ее дизайна и макет проекта можно найти на сайте архитектурного бюро BIG (Bjarke Ingels Group), http://www.big.dk/. На сайте представлен также 41 слайд с изображением внутренней и внешней архитектуры библиотеки, обзором музея, воздействия температур и т. п. Все это необычно, поскольку проект здания построен на принципе ленты Мебиуса. Сведения об архитекторе Бьярке Ингельсе и его работе содержатся в статье G. Williams, Open source architect: Meet the maestro of ‘hedonistic sustainability, http://www.wired.co.uk/magazine/archive/2011/07/features/open-source-architect.
Некоторые из них описаны в книге Pickover, The Mobius Strip. Вы можете найти сотни других, произведя поиск по ключевым словам «лента Мебиуса».
Способ разрезания бублика таким образом показан на сайте Джорджа Гарта http://www.georgehart.com/bagel/bagel.html. Можно также посмотреть компьютерную анимацию, выполненную Биллом Джайлсом, на http://www.youtube.com/watch?v=hYXnZ8-ux80. Если хотите проследить за процессом в реальном времени, найдите видео компании UltraNurd под названием Mobius Bagel («Бублик Мебиуса») на http://www.youtube.com/watch?v=Zu5z1BCC70s. Однако, строго говоря, это не совсем бублик Мебиуса, о чем говорят многие, кто писал о работе Джорджа или пытался повторить его опыт. Поверхность, по которой растекается сливочный сыр, не является эквивалентом ленты Мебиуса, поскольку в ней два полуоборота вместо одного, в результате она имеет две стороны, а не одну. Кроме того, настоящий бублик Мебиуса, разрезанный пополам, состоит из одной части, а не из двух. Видеоролик о том, как разрезать бублик, действительно используя метод Мебиуса, см. http://www.youtube.com/watch?v=l6Vuh16r8°8.
Может показаться, что я говорю о геометрии на плоскости с некоторым пренебрежением, но это ошибочное впечатление. Я так не думаю, поскольку метод локальной аппроксимации криволинейной формы плоскости часто оказывался полезным упрощением во многих разделах математики и физики — от простых вычислений до теории относительности. Планиметрия — первый пример этой великой идеи.
И я не утверждаю, что буквально все древние думали, будто мир плоский. Об измерении Эратосфеном окружности и радиуса Земли см. N. Nicastro, Circumference (St. Martin’s Press, 2008). Более современный подход недавно продемонстрировал профессор Принстонского университета Роберт Вандербей во время выступления перед учениками геометрического класса средней школы, в котором учится его дочь. Возможно, вы захотите повторить его опыт. Чтобы показать, что Земля не плоская, и оценить ее диаметр, он использовал фотографию заката. Его слайды размещены по адресу http://orfe.princeton.edu/~rvdb/tex/sunset/34-39.OPN.1108twoup.pdf.
Превосходное введение в современную геометрию написано одним из величайших математиков ХХ века Давидом Гильбертом. Эта классическая работа, первоначально опубликованная в 1952 году, была переиздана в 1999-м, см. D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination (American Mathematical Society, 1999). Список нескольких хороших учебников и онлайн-курсов по дифференциальной геометрии приведен в «Википедии» по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry.
Прим. ред.: Книги по дифференциальной геометрии: Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию / 2-е изд., исправл. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет». 2000; Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004; Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990; Прасолов В. В. Наглядная топология /2-е изд., доп. М.: МЦНМО, 2006.
Равноугольная цилиндрическая проекция, предложенная в последней трети XVI века картографом Г. Меркатором. Используется в навигации, поскольку для нее углы между меридианом и курсом (пересекающей его линией) одинаковы на сфере и изображающей ее поверхности плоской карты. Прим. перев.
Интерактивное видео в режиме онлайн, которое позволит найти кратчайший маршрут между двумя любыми точками на поверхности Земли, см. http://demonstrations.wolfram.com/GreatCirclesOnMercatorsChart/. (Для просмотра потребуется загрузить Mathematica Player, который в дальнейшем позволит открыть сотни других видео из всех разделов математики.)
Традиция пришла из средних веков, когда парикмахеры, чтобы привлечь внимание горожан к своему бизнесу, вешали на стене парикмахерской специальные знаки (что-то вроде вывески) в виде цилиндров, раскрашенных спиралями белого и красного цветов. В настоящее время в США эти знаки красят в белый, красный и синий цвета, а сам цилиндр помещается в стеклянную капсулу.
Фрагменты из ряда увлекательных образовательных видео по разделам математики Полтье можно найти в интернете по адресу: http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/video/Geodesics/Scenes.html. Видео Полтье и его коллег, получившие награды на фестивале VideoMath Festival, размещены на http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/Events/VideoMath/index.html. Для получения дополнительных сведений см. G. Glaeser and K. Polthier, A Mathematical Picture Book (Springer, 2012). Изображения, использованные в этой главе, взяты из DVD Touching Soap Films (Springer, 1995), by Andreas Arnez, Konrad Polthier, Martin Steffens, and Christian Teitzel.
Классический алгоритм для задач нахождения кратчайшего пути разработан Эдсгером Дейкстрой. За информацией обращайтесь по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra’s_algorithm. Стивен Скиена разместил в своем блоге анимированную инструкцию алгоритма Дейкстры, см. http://www.cs.sunysb.edu/~skiena/combinatorica/animations/dijkstra.html.
