Даже Ньютон не придавал особого значения комплексным корням, вероятнее всего потому, что в его время комплексные корни еще не имели физического смысла. Так, во «Всеобщей арифметике» ([139], изд. 2-е, 1728) Ньютон говорит: «Корни уравнений часто должны быть невозможными [комплексными] именно потому, что они призваны выражать невозможные случаи задачи так, как если бы те были возможны». Иначе говоря, задачи, которые не допускают решений, имеющих физический или геометрический смысл, должны иметь комплексные корни.
Отсутствие ясности в вопросах, связанных с комплексными числами, часто демонстрируют на примере широкоизвестного высказывания Лейбница: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Хотя Лейбниц формально производил операции над комплексными числами, он не понимал их истинной природы. Желая хоть как-то обосновать те применения, которые он сам и Иоганн Бернулли нашли комплексным числам в математическом анализе, Лейбниц высказал надежду, что вреда от этого не будет.
Несмотря на отсутствие ясного понимания природы комплексных чисел в XVI-XVII вв., алгоритмическая сторона вычислений, производимых с вещественными и комплексными числами, усовершенствовалась и расширялась. В своей «Алгебре» (1685) Валлис показал, как геометрически представить комплексные корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами. По существу, Валлис утверждал, что комплексные числа ничуть не более бессмысленны, чем отрицательные числа, а так как последние можно изобразить точками направленной прямой, то комплексные числа можно представить точками плоскости. Валлис предложил несовершенное представление комплексных чисел и способ, позволяющий геометрически построить корни уравнения ax 2+ bx + c = 0для случая вещественных и комплексных корней. Хотя работа Валлиса оказалась правильной, ее предали забвению, поскольку в то время, математики еще не могли по достоинству оценить применение комплексных чисел.
Хотя в XVII в. в логике математики возникли и другие проблемы, мы рассмотрим их в следующей главе, а пока нас будут интересовать те трудности, с которыми столкнулись в XVIII в. математики, пытаясь осмыслить и обосновать все то, что они делали с иррациональными, отрицательными и комплексными числами, а также разобраться в алгебре. Что касается (положительных) иррациональных чисел, то, хотя они по-прежнему не были строго определены и их свойства по существу оставались неустановленными, все же чисто интуитивно такие числа были более приемлемы, поскольку по своим свойствам они в общем были близки к целым и дробным числам. Именно поэтому математики безбоязненно использовали их, не задумываясь ни о том, что собственно они означают, ни об их свойствах. Некоторые математики, в том числе и Эйлер, полагали, что логической основой теории иррациональных чисел служит теория величин Евдокса, изложенная в книге V «Начал» Евклида. Евдокс действительно создал теорию пропорций для величин, связанную с геометрией, но отнюдь не теорию иррациональных чисел. {69}Однако, что касалось иррациональных чисел, то здесь если не логика, то по крайней мере совесть ученых мужей XVII в. была чиста.
Отрицательные числа беспокоили математиков гораздо сильнее, чем иррациональные; возможно, это объяснялось тем, что отрицательные числа не имели столь очевидного геометрического смысла и правила операций над ними выглядели менее привычно. Хотя примерно с середины XVII в. отрицательные числа использовались весьма широко, они были лишены строгого определения и логического обоснования, и многие математики либо пытались каким-то образом восполнить этот пробел, либо оспаривали само применение отрицательных чисел. В статье «Отрицательное», написанной для знаменитой французской «Энциклопедии», один из величайших мыслителей Века разума Жан Лерон Д'Аламбер утверждал: «Если задача приводит к отрицательному решению, то это означает, что какая-то часть исходных предположений ложна, хотя мы и считали ее истинной», — и далее: «Если получено отрицательное решение, то это означает, что искомым решением служит дополнение к [соответствующему положительному] числу». {73}
Работа величайшего из математиков XVIII в. Леонарда Эйлера «Полное введение в алгебру» (1770) по праву принадлежит к числу самых значительных трудов по алгебре. В этой работе Эйлер обосновал эквивалентность операций вычитания величины −bи прибавления величины b,сославшись на то, что «погасить долг означает поднести дар». Равенство (−1) ∙(−1) = +1 Эйлер доказал следующим образом. Произведение (−1) ∙(−1), рассуждал он, может быть равно либо −1, либо +1, а поскольку ему удалось доказать, что 1 ∙(−1) = −1, то для произведения (−1) ∙(−1) остается единственное возможное значение, а именно +1. В XVIII в. авторы даже наиболее выдающихся работ по алгебре не различали знак «минус» как символ операции вычитания и знак «минус» как символ отрицательного числа (например, −2).
На протяжении XVIII в. против отрицательных чисел выдвигалось немало возражений. Английский математик, член совета Кларе-колледжа в Кембридже и член Королевского общества, Фрэнсис Мазер (1731-1824) был автором солидных работ по математике и фундаментального трактата по страхованию жизни. В 1759 г. он опубликовал «Рассуждение о применении в алгебре знака минус». Мазер показал, как избежать отрицательных чисел (исключение составляли лишь числа, получаемые в том случае, когда из меньшего числа необходимо вычесть большее), и в частности отрицательных корней уравнения. Он произвел тщательную классификацию квадратных уравнений: уравнения с отрицательными корнями Мазер рассматривал отдельно, а сами отрицательные корни рекомендовал отбрасывать. Аналогичным образом он поступал и с кубическими уравнениями. Об отрицательных корнях Мазер говорил:
… Насколько я могу судить, они служат лишь для того, чтобы внести замешательство во всю теорию уравнений и сделать смутным и загадочным то, что по самой своей природе особенно ясно и просто… Чрезвычайно желательно поэтому не допускать отрицательные корни в алгебру, а если таковые все же возникнут, неукоснительно изгонять их. Имеются веские основания полагать, что если бы нам удалось избавиться от отрицательных корней, то тем самым были бы сняты возражения, выдвигаемые многими учеными и остроумными мужами против алгебраических вычислений как слишком сложных и наделенных почти непостижимыми для разума понятиями. Алгебра, или всеобщая арифметика, по самой своей природе, несомненно, является наукой не менее простой, ясной и пригодной для доказательства, чем геометрия.
Еще более ожесточенными были споры о смысле комплексныхчисел и применении этих чисел. И без того трудное положение осложнилось здесь тем, что некоторые математики стали рассматривать логарифмы отрицательных чисел (а также комплексных чисел), которые также должны были являться комплексными числами.
С 1712 г. развернулась острая дискуссия о смысле комплексных чисел, и в частности о логарифмах отрицательных и комплексных чисел, в которой участвовали своими статьями и письмами Лейбниц, Эйлер и Иоганн Бернулли. Лейбниц и Бернулли воспользовались для обозначения комплексных чисел термином «мнимые», предложенным Декартом, понимая под мнимыми величинами (к ним они относили и отрицательные числа) числа, которые не существуют. Тем не менее и Лейбниц, и Бернулли, словно по волшебству, с немалой пользой применяли «несуществующие» числа в анализе, получая с их помощью, например, совершенно правильные формулы интегрирования: промежуточные выкладки, казалось бы, не имели смысла, но окончательный результат был верен.
Лейбниц заявлял, что логарифмы отрицательных чисел не существуют, и в доказательство приводил различные аргументы. Иоганн Бернулли считал, что log a= log( −a) ,и в подтверждение также ссылался на различные доводы. Одно из «доказательств» опиралось на хорошо известные свойства логарифмов положительных чисел:
