которыми скрывается формула Эйлера в геометрии, топологии и динамических системах. Мы также приведем примеры теорем, доказательства которых основаны на формуле Эйлера. Мы увидим, почему эта долгое время остававшаяся незамеченной формула стала одной из самых уважаемых теорем в математике.
Приложения к главе
2. Quoted in Machamer (1998).
3. Juskevic and Winter (1965), 333.
Глава 1
Леонард Эйлер и три его «великих» знакомца
Читайте, читайте Эйлера — он наш общий учитель.
— Пьер-Симон Лаплас4
Мы привыкли к гиперболам. Телевизионная реклама, рекламные щиты, спортивные комментаторы, популярные музыканты регулярно извергают такие эпитеты, как величайший, лучший, ярчайший, быстрейший и прочее. Эти слова давно уже утратили свое буквальное значение и используются как естественная часть продвижения товара или развлечения зрителя. Поэтому слова о том, что Леонард Эйлер был одним из самых влиятельных и плодовитых математиков, когда-либо рождавшихся на свет, могут не произвести никакого впечатления на читателя. Но мы ничего не преувеличиваем. Эйлер наряду с Архимедом (287–211 до н. э.), Исааком Ньютоном (1643–1727) и Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) признан как один из десяти — или даже пяти — самых важных и значительных математиков в истории.
За свою 76-летнюю жизнь Эйлер написал столько математических работ, что для их печати потребовалось семьдесят четыре весьма объемистых тома, — больше, чем любой другой математик. Когда все его работы были опубликованы (а новые материалы обнаруживались в течение 79 лет после его смерти), оказалось, что он автор ошеломительных 866 трудов, включая статьи и книги по самым передовым предметам, элементарные учебники, научно-популярные работы и технические руководства. И сюда еще не включены предположительно пятнадцать томов писем и записных книжек, которые все еще готовятся к печати.
Но значимость Эйлера определяется не его плодовитостью, а глубиной основополагающих вкладов в математику. Эйлер не специализировался в какой-то одной области. Он был одним из великих универсалов, оставившим след в самых разных дисциплинах. Он опубликовал влиятельные статьи и книги по математическому анализу, теории чисел, комплексному анализу, вариационному исчислению, дифференциальным уравнениям, теории вероятностей и топологии. И это не считая вклада в такие прикладные предметы, как оптика, электричество и магнетизм, механика, гидродинамика и астрономия. Ко всему прочему Эйлер обладал чертой, редкой среди больших ученых и тогда, и в наше время: он был превосходным стилистом. В отличие от своих предшественников, Эйлер писал простым и ясным языком, благодаря чему его работы равно доступны специалистам и студентам.
Рис. 1.1. Леонард Эйлер
Эйлер был мягким скромным человеком, его жизнь была сосредоточена на большой семье и работе. Он жил сначала в Швейцарии, потом в России, Пруссии и снова в России и активно переписывался со многими известными мыслителями XVIII века. Его профессиональная жизнь была связана с тремя «Великими» правителями Европы — Петром Великим, Фридрихом Великим и Екатериной Великой. Во времена правления этих монархов были созданы или воскрешены национальные академии наук их стран. Эти академии финансово поддерживали Эйлера, так что он мог заниматься чистой наукой. Взамен ожидалось лишь, что время от времени он будет применять свой научный опыт на благо государства, а его известность принесет славу нации.
Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле 15 апреля 1707 года в семье Пауля Эйлера и Маргариты Брукер Эйлер. Вскоре после этого семья переехала в близлежащий городок Рихен, где Пауль был назначен пастором местной кальвинистской церкви.
Первые уроки математики Эйлеру давал отец. Он не был математиком, но учился математике у знаменитого Якоба Бернулли (1654–1705), когда Пауль и младший брат Якоба Иоганн (1667–1748), будучи студентами Базельского университета, столовались в доме Якоба. Якоб и Иоганн Бернулли были членами семейства, которому суждено было стать одной из самых известных фамилий в математике. Больше ста лет клан Бернулли играл заметную роль в развитии математики, вклад в которую внесли по меньшей мере восемь Бернулли.
Формальное обучение Леонард начал в Базельском университете в возрасте 14 лет. В то время столь юный возраст не считался чем-то необычным для студента университета. Университет был небольшим — всего несколько сотен студентов и девятнадцать профессоров. Пауль надеялся, что сын пойдет по его стопам и станет пастором, поэтому Эйлер изучал теологию и иврит. Но его математические способности были несомненны, и очень скоро он привлек внимание друга отца Иоганна Бернулли. К тому времени Иоганн стал одним из ведущих европейских математиков.
Иоганн был заносчивым резким человеком, он всегда желал быть первым, что приводило к известным скандалам по поводу приоритета (в том числе со своим братом и сыном). Тем не менее он заметил выдающийся талант мальчика и посоветовал ему строить карьеру в математике. В своей автобиографии Эйлер писал: «если я сталкивался с каким-то препятствием или трудностью, то мог свободно прийти к нему в субботу вечером, и он доброжелательно объяснял мне то, чего я не мог понять»5. Эти уроки сыграли большую роль в становлении математической техники Эйлера.
Несмотря на то что Леонард преуспевал в своих частных занятиях математикой, Пауль все еще надеялся, что его сын станет пастором. В семнадцать лет Эйлер получил степень магистра философии. Иоганн опасался, что его протеже может оказаться потерян для математики и станет приобретением церкви, поэтому вмешался и твердо сказал Паулю, что Леонард может стать выдающимся математиком. Из-за теплых чувств, питаемых к математике, Пауль уступил. Но хотя Эйлер отказался от идеи стать пастором, он всю свою жизнь оставался набожным кальвинистом.
Свой первый независимый математический результат Эйлер получил в девятнадцать лет. За теоретическую работу по идеальному размещению мачт на судне он заслужил «похвальное упоминание» в престижном конкурсе, организованном Французской академией наук. Это достижение было бы невероятным для любого юноши его возраста, а особенно для молодого человека из Швейцарии, который никогда не видел океанского корабля. В том конкурсе Эйлер не стал победителем, что было бы примерно эквивалентно получению сегодняшней Нобелевской премии, но в последующие годы он удостаивался высшей награды двенадцать раз.
В то время, когда родился Эйлер, в тысяче миль на северо-запад от Базеля российский император Петр Великий (1672–1725) строил город Санкт-Петербург. Он был основан в 1703 году в болотистой местности недалеко от места впадения Невы в Балтийское море. Петр использовал рабский труд для возведения как самого города, так и Петропавловской крепости, занимающей стратегически выгодное положение на одном из островов в устье Невы. Он любил свой новый город, называл его «парадизом» и дал ему имя в честь своего святого покровителя. Несмотря на то что большинство русских людей, а в особенности государственных
